Velocidade relativa no espalhamento. (a) Considere o espalhamento (ou colisão) elástico entre duas partículas de mesma massa. Utilizando a conservação de energia e momento linear, mostre que a magnitude do vetor velocidade relativa antes, u=v1-v2, e após, u^prime=v1^prime-v2^prime, a colisão é preservada.

Passo 1

Então, é o seguinte: a gente tem duas partículas de mesma massa sofrendo uma colisão elástica. A ideia é usar duas coisas básicas da mecânica clássica:
  1. Conservação do momento linear
  2. Conservação da energia cinética
    e mostrar que o módulo da velocidade relativa antes da batida,
u = v1 - v2
é igual ao módulo da velocidade relativa depois,
u' = v1' - v2'
Vai ser moleza: a gente vai achar primeiro o vetor velocidade do centro de massa e daí expressar tudo em função dele e da velocidade relativa.

Passo 2

Conservação do momento linear: como as massas são iguais (digamos cada uma de massa mv1 + mv2 ;=; mv1' + mv2' Longrightarrow v1 + v2 = v1' + v2' ), temos
V = v1 + v22, V' = v1' + v2'2
Daí definimos a velocidade do centro de massa
V = V'
Como , fica óbvio que

Passo 3

Agora, a gente expressa as velocidades individuais em função de u = v1 - v2 Longrightarrow v1 = V + tfrac12u, v2 = V - tfrac12u e da relativa v1' = V' + tfrac12u', v2' = V' - tfrac12u' .
Por definição,
Do mesmo jeito, depois da colisão:

Passo 4

Aplicamos conservação da energia cinética:
tfrac12m,v1^2 + tfrac12m,v2^2 ;=; tfrac12m,v1'^2 + tfrac12m,v2'^2
Divide por v1^2 + v2^2 = v1'^2 + v2'^2 e multiplica por 2:
(V+tfrac12u)^2 + (V-tfrac12u)^2 = 2,V^2 + tfrac12,u^2
Substituindo as expressões de 2,V^2 + tfrac12,u^2 ;=; 2,V^2 + tfrac12,u'^2 Longrightarrow u^2 = u'^2 em função de , a soma das energias vira
Mesma coisa do lado direito, mas com e . Logo

Resposta

Logo, o módulo da velocidade relativa é o mesmo antes e depois da colisão elástica entre massas iguais:
l|ur| ;=; l|u'r|

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