Velocidade relativa no espalhamento. (a) Considere o espalhamento (ou colisão) elástico entre duas partículas de mesma massa. Utilizando a conservação de energia e momento linear, mostre que a magnitude do vetor velocidade relativa antes,
, e após,
, a colisão é preservada.
Passo 1
Então, é o seguinte: a gente tem duas partículas de mesma massa sofrendo uma colisão elástica. A ideia é usar duas coisas básicas da mecânica clássica:
- Conservação do momento linear
- Conservação da energia cinética
e mostrar que o módulo da velocidade relativa antes da batida,
é igual ao módulo da velocidade relativa depois,
Vai ser moleza: a gente vai achar primeiro o vetor velocidade do centro de massa e daí expressar tudo em função dele e da velocidade relativa.
Passo 2
Conservação do momento linear: como as massas são iguais (digamos cada uma de massa
), temos
Daí definimos a velocidade do centro de massa
Como
, fica óbvio que
Passo 3
Agora, a gente expressa as velocidades individuais em função de
e da relativa
.
Por definição,
Por definição,
Do mesmo jeito, depois da colisão:
Passo 4
Aplicamos conservação da energia cinética:
Divide por
e multiplica por 2:
Substituindo as expressões de
em função de
, a soma das energias vira
Mesma coisa do lado direito, mas com
e
. Logo
Resposta
Logo, o módulo da velocidade relativa é o mesmo antes e depois da colisão elástica entre massas iguais: