Rotações entre sistemas de coordenadas IV. Considere agora um sistema de coordenadas em três dimensões. Crie um novo sistema a partir da rotação de um ângulo varphi em relação ao eixo z no sentido ante-horário. Posteriormente, crie um novo sistema a partir desse realizando uma rotação de theta no sentido antehorário em relação ao eixo x^prime e encontre as equações que relacionam as coordenadas xj^prime prime(j=1,2,3) do último sistema às coordenadas xj do sistema inicial.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar um sistema de coordenadas em 3D, girar ele primeiro de um ângulo φ (menor que π/2) em torno do eixo z, no sentido anti-horário, e em seguida girar o resultado de um ângulo θ (também menor que π/2) em torno do eixo x′, de novo anti-horário. O objetivo é achar as fórmulas que dão as coordenadas x₁″, x₂″ e x₃″ (ou seja, x″, y″, z″) em função de x₁, x₂, x₃ (x, y, z) originais.
Conteúdo: rotações em 3D e matrizes de rotação.
O que vamos precisar:
  1. A matriz de rotação em torno de z de ângulo φ.
  2. A matriz de rotação em torno de x de ângulo θ (mas aplicada ao sistema já girado).
  3. Multiplicar essas duas matrizes e aplicar ao vetor (x,y,z).

Passo 2

Primeiro, a rotação de φ em torno do eixo z (anti-horário) é dada pela matriz
Rz(φ) = cos φ & -sin φ & 0 sin φ & cos φ & 0 0 & 0 & 1
Se chamarmos o vetor original de x' = Rz(φ),x = x1'x2'x3' = cos φ,x1 ;-;sin φ,x2 sin φ,x1 ;+;cos φ,x2 x3 , após essa rotação temos
[
\mathbf{x}’ = R_z(φ),\mathbf{x}

.
]

Passo 3

Agora, a partir do sistema já girado, a gente faz uma rotação de θ em torno do eixo x′ (que é o primeiro eixo do sistema novo). A matriz dessa rotação é igual à rotação em torno de x em 3D:
Rx(θ) = 1 & 0 & 0 0 & cos θ & -sin θ 0 & sin θ & cos θ
Aplicando essa matriz em x'' = Rx(θ),x' = x1''x2''x3'' = 1cdot x1' + 0cdot x2' + 0cdot x3' 0cdot x1' + cos θ,x2' - sin θ,x3' 0cdot x1' + sin θ,x2' + cos θ,x3' , obtemos
[
\mathbf{x}’’ = R_x(θ),\mathbf{x}’ =

.
]

Passo 4

É só juntar tudo: lembrar que , e . Substituindo em cada componente de , dá:
x₁″ = x₁′ = cos φ·x₁ – sin φ·x₂
x₂″ = cos θ·x₂′ – sin θ·x₃ = cos θ·(sin φ·x₁ + cos φ·x₂) – sin θ·x₃
x₃″ = sin θ·x₂′ + cos θ·x₃ = sin θ·(sin φ·x₁ + cos φ·x₂) + cos θ·x₃

Resposta

As coordenadas do vetor no sistema final em função das iniciais são:
boxed x1'' &= cos φ,x1 ;-;sin φ,x2, x2'' &= cos θl(sin φ,x1 + cos φ,x2r);-;sin θ,x3, x3'' &= sin θl(sin φ,x1 + cos φ,x2r);+;cos θ,x3

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