Considere a superposição de duas ondas:
y_{1}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa . x-\omega . t)
y_{2}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x-\omega \cdot t+\varphi)
sendo y_{m}=(0,20 m), k=\left(10 . m^{-1}\right), \omega=50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \varphi=\pi / 4.
calcule o módulo da VELOCIDADE TRANSVERSAL da onda resultante para \mathbf{x}=\mathbf{0 , 1 m}, \mathbf{t}=\mathbf{0 , 0 4 s}(\mathbf{e m} \mathrm{m} / \mathrm{s}).

Passo 1

O enunciado dá duas ondas que se sobrepõem:
y_{1}=y_{m}\cdot\sin(\kappa\cdot x-\omega\cdot t), \qquad y_{2}=y_{m}\cdot\sin(\kappa\cdot x-\omega\cdot t+\varphi)
e os valores numéricos (peguei-os do enunciado) são:
y_{m}=0,20\\ \mathrm{m},\qquad \kappa=10\\ \mathrm{m^{-1}},\qquad \omega=50\\ \mathrm{rad/s},\qquad \varphi=\frac{\pi}{4}.
O que é pedido: calcular o módulo da velocidade transversal (ou seja, a velocidade vertical) da onda resultante no ponto
x=0,1\\ \mathrm{m},\qquad t=0,04\\ \mathrm{s},
e dar o resultado em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entender o que é “velocidade transversal” (vertical) para ondas em corda ou similar: é a derivada temporal da deformação y(x,t). Se a onda resultante for
y(x,t)=y_{1}+y_{2},
a velocidade transversal é
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
Vou ensinar a manipular a soma das senos para simplificar antes de derivar: existe a identidade trigonométrica
\sin A+\sin B = 2\sin\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Aqui tome A=\kappa x-\omega t e B=\kappa x-\omega t+\varphi. Então
y(x,t)=y_{m}\big[\sin A+\sin B\big] =2y_{m}\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\sin\!\bigg(\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}\bigg).
Explico por quê: (A+B)/2 = A+\varphi/2 e (A-B)/2 = -\varphi/2, e \cos(-\varphi/2)=\cos(\varphi/2).

Passo 3

Agora vamos derivar em relação ao tempo. A função que temos é
y(x,t)=2y_{m}\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\sin\!\bigg(\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}\bigg).
Derivando temporalmente (explico: \partial/\partial t da função \sin(\kappa x-\omega t+\varphi/2) é \cos(\cdot) vezes a derivada interna -\omega):
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t} = 2y_{m}\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\cdot\cos\!\bigg(\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}\bigg)\cdot(-\omega).
Ou seja, tomando o sinal em conta,
v(x,t) = -2y_{m}\,\omega\,\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}\bigg).
Como o enunciado pede o módulo da velocidade transversal, vamos calcular
|v(x,t)| = 2y_{m}\,\omega\,\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\,\bigg|\cos\!\bigg(\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}\bigg)\bigg|.

Passo 4

Substituir os valores numéricos passo a passo (uso vírgula como separador decimal, conforme pedido):
Primeiro alguns termos:
2y_{m}\,\omega = 2\cdot(0,20)\cdot(50)=20.
\frac{\varphi}{2}=\frac{\pi}{8}.
A função \cos(\pi/8) é conhecida (ângulo 22{,}5^\circ):
\cos\!\bigg(\frac{\pi}{8}\bigg)\approx 0,9238795325.
Multiplicando estes fatores:
2y_{m}\,\omega\,\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)=20\cdot 0,9238795325\approx 18,47759065.

Passo 5

Calcular o argumento do cosseno restante:
\kappa x = 10\cdot 0,1 = 1 \quad(\text{rad}),
\omega t = 50\cdot 0,04 = 2 \quad(\text{rad}),
\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}=1-2+\frac{\pi}{8}=-1+\frac{\pi}{8}\approx -0,6073009183\\ \text{(rad)}.
Como \cos é par, |\cos(-0,6073)|=|\cos(0,6073)|. Calculando o cosseno:
\bigg|\cos\!\bigg(-1+\frac{\pi}{8}\bigg)\bigg|\approx 0,82120\\ \text{(aprox.)}.

Passo 6

Agora multiplicar o fator de amplitude pelo valor absoluto do cosseno:
|v(0,1,\;0,04)| \approx 18,47759065 \times 0,82120 \approx 15,18\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: o número 18,48 é a amplitude máxima da velocidade dada pela combinação das duas ondas, e a multiplicação por |\cos(\ldots)| dá o valor instantâneo no ponto e tempo pedidos.

Resposta

15,18\\ \mathrm{m/s}

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