Se o momento de inércia de uma esfera homogênea em relação a um diâmetro é (2/5) M R^2, em que M é a massa e R é o raio da esfera, o momento de inércia da esfera em relação a um eixo tangente à superficie é
Escolha uma opção:
a. M R^2
b. (5 / 2) M R^2
c. (2 / 5) M R^2
○d. (3 / 5) M R^2
○. (7 / 5) M R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre momento de inércia, que é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. No caso, a pergunta é sobre uma esfera homogênea (massa distribuída igualmente) e queremos saber qual é o momento de inércia dela em relação a um eixo que é tangente à superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema dos Eixos Paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que o enunciado já nos deu: o momento de inércia da esfera em relação a um diâmetro (que passa pelo centro) é $ I_{cm} = \frac{2}{5} M R^{2} $. Aqui, $ M $ é a massa da esfera e $ R $ é o raio.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo tangente à esfera. Para isso, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que diz:
I = Icm + M d^2
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia em relação ao novo eixo (no nosso caso, o eixo tangente).
  • $ I_{cm} $ é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro (que já sabemos).
  • $ d $ é a distância entre os dois eixos. Como o eixo tangente está na superfície, $ d = R $.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
I = 25 M R^2 + M R^2
Para somar essas parcelas, precisamos ter o mesmo denominador:
I = 25 M R^2 + 55 M R^2 = 75 M R^2

Passo 5

Então, o momento de inércia da esfera em relação a um eixo tangente à superfície é $ \frac{7}{5} M R^{2} $.

Resposta

A resposta correta é $ \frac{7}{5} M R^{2} $.

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