O momento de inércia de uma estrela que sofre uma contração enquanto gira em torno de si mesma cai para 1 / 2 do valor inícial. Qual é a razão entre a nova energia cínética de rotação e a energia antiga?

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a nova energia cinética de rotação e a energia cinética antiga quando uma estrela, que gira em torno de si mesma, tem seu momento de inércia reduzido para metade do valor inicial. Informação dada e o que se pede:
I_{\text{inicial}} = I,\qquad I_{\text{final}} = \frac{1}{2}I.
Pergunta: calcular a razão
\frac{K_{\text{final}}}{K_{\text{inicial}}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinhos como se eu estivesse ao seu lado na prova:
\text{momento angular: } L = I\omega,
onde I é o momento de inércia e \omega é a velocidade angular. Aqui L representa a quantidade de “giro” que o corpo tem; se não há torque externo, L se conserva (ou seja, continua o mesmo durante a contração).
\text{energia cinética de rotação: } K=\frac{1}{2}I\omega^{2}.éçã
Explicando: K é a energia associada ao movimento de rotação; aparece um fator 1/2 como na energia translacional \tfrac{1}{2}mv^{2}, mas com I e \omega no lugar de m e v.

Passo 3

Usamos a conservação do momento angular porque a estrela contrai por forças internas e não há torque externo significativo. Assim
L_{\text{inicial}}=L_{\text{final}}\quad\Rightarrow\quad I_{\text{inicial}}\omega_{\text{inicial}}=I_{\text{final}}\omega_{\text{final}}.
Substituindo I_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}I_{\text{inicial}} (vou chamar I_{\text{inicial}} só de I e \omega_{\text{inicial}} de \omega para simplificar):
I\omega=\frac{1}{2}I\;\omega_{\text{final}}.
Isolando \omega_{\text{final}}:
\omega_{\text{final}}=\frac{I}{\tfrac{1}{2}I}\,\omega=2\omega.
Ou seja, a velocidade angular dobra.

Passo 4

Agora calculamos as energias antes e depois e sua razão. Energia inicial:
K_{\text{inicial}}=\frac{1}{2}I\omega^{2}.
Energia final usando I_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}I e \omega_{\text{final}}=2\omega:
K_{\text{final}}=\frac{1}{2}\,I_{\text{final}}\,\omega_{\text{final}}^{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}I\right)(2\omega)^{2}.
Calculando passo a passo:
(2\omega)^{2}=4\omega^{2},
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}I\right)\cdot 4\omega^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\;I\omega^{2}=\;1\cdot I\omega^{2}.
Portanto
K_{\text{final}}=I\omega^{2}.
Compare com K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}: claramente
K_{\text{final}}=2\;K_{\text{inicial}}.

Passo 5

Interpretação física rápida e animadora: ao contrair, a estrela aumenta sua velocidade angular (dobrou) por conservação do momento angular; parte da energia gravitacional liberada na contração é convertida em energia cinética de rotação, por isso a energia rotacional aumenta (dobra). A razão pedida é então 2 — nada místico, só contas diretas com conservação de L e fórmula de K.

Resposta

2

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