O momento de inércia de uma estrela que sofre uma contração enquanto gira em torno de si mesma cai para
do valor inícial. Qual é a razão entre a nova energia cínética de rotação e a energia antiga?
Passo 1
O enunciado pede a razão entre a nova energia cinética de rotação e a energia cinética antiga quando uma estrela, que gira em torno de si mesma, tem seu momento de inércia reduzido para metade do valor inicial. Informação dada e o que se pede:
Pergunta: calcular a razão
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinhos como se eu estivesse ao seu lado na prova:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular. Aqui
representa a quantidade de “giro” que o corpo tem; se não há torque externo,
se conserva (ou seja, continua o mesmo durante a contração).
Explicando:
é a energia associada ao movimento de rotação; aparece um fator
como na energia translacional
, mas com
e
no lugar de
e
.
Passo 3
Usamos a conservação do momento angular porque a estrela contrai por forças internas e não há torque externo significativo. Assim
Substituindo
(vou chamar
só de
e
de
para simplificar):
Isolando
:
Ou seja, a velocidade angular dobra.
Passo 4
Agora calculamos as energias antes e depois e sua razão. Energia inicial:
Energia final usando
e
:
Calculando passo a passo:
Portanto
Compare com
: claramente
Passo 5
Interpretação física rápida e animadora: ao contrair, a estrela aumenta sua velocidade angular (dobrou) por conservação do momento angular; parte da energia gravitacional liberada na contração é convertida em energia cinética de rotação, por isso a energia rotacional aumenta (dobra). A razão pedida é então 2 — nada místico, só contas diretas com conservação de
e fórmula de
.