- Considere a equação diferencial abaixo, que possui um ponto singular regular em
:
Deseja-se encontrar uma solução pelo Método de Frobenius da forma
.
a) Escreva a Equação Indicial associada a esta EDO.
b) Determine as raízes
e
da equação indicial (os expoentes da singularidade).
a) Escreva a Equação Indicial associada a esta EDO.
b) Determine as raízes
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e diz que
é um ponto singular regular. Pede-se:
a) escrever a Equação Indicial associada à EDO;
b) determinar as raízes e
da equação indicial (os expoentes da singularidade).
Informações relevantes fornecidas: a solução procurada pelo Método de Frobenius tem a forma (com
) e devemos usar essa forma para obter a equação indicial.
a) escrever a Equação Indicial associada à EDO;
b) determinar as raízes
Informações relevantes fornecidas: a solução procurada pelo Método de Frobenius tem a forma
Passo 2
Explicação rápida do Método de Frobenius (passo-a-passo): assumimos uma solução da forma
onde
é o expoente inicial (desconhecido) e
. Diferenciamos termo a termo (isso é permitido enquanto a série representar a solução numa vizinhança do ponto singular regular), obtendo as fórmulas gerais das derivadas:
A equação indicial provém ao substituir essas séries na EDO e requerer que o coeficiente do menor expoente em
seja zero (esse menor expoente é
neste tipo de substituição).
Passo 3
Substituo as séries na EDO termo a termo. Calculo cada contribuição multiplicada pelas potências de
que aparecem na equação:
Passo 4
Agrupo as parcelas que têm potência
e separo a soma que começa em
:
A segunda soma tem potências mínimas
, portanto o menor expoente total da expressão é
e vem do termo
da primeira soma. Para que a igualdade seja válida para todo
(série identicamente zero), o coeficiente do termo
deve ser zero. Esse coeficiente é
No Método de Frobenius tomamos
, logo a parte entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos a equação indicial.
Passo 5
Escrevo a equação indicial e simplifico:
Expandindo:
Resolvo a quadrática: o discriminante é
. As raízes são
Portanto as duas raízes são
e
.