1. Considere a equação diferencial abaixo, que possui um ponto singular regular em x=0 :
2 x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+(1+x) y=0
Deseja-se encontrar uma solução pelo Método de Frobenius da forma y(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r}.
a) Escreva a Equação Indicial associada a esta EDO.
b) Determine as raízes r_{1} e r_{2} da equação indicial (os expoentes da singularidade).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2 x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+(1+x) y=0
e diz que x=0 é um ponto singular regular. Pede-se:
a) escrever a Equação Indicial associada à EDO;
b) determinar as raízes r_{1} e r_{2} da equação indicial (os expoentes da singularidade).
Informações relevantes fornecidas: a solução procurada pelo Método de Frobenius tem a forma \displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r} (com a_{0}\neq0) e devemos usar essa forma para obter a equação indicial.

Passo 2

Explicação rápida do Método de Frobenius (passo-a-passo): assumimos uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r},
onde r é o expoente inicial (desconhecido) e a_{0}\neq0. Diferenciamos termo a termo (isso é permitido enquanto a série representar a solução numa vizinhança do ponto singular regular), obtendo as fórmulas gerais das derivadas:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(n+r)\,x^{n+r-1},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(n+r)(n+r-1)\,x^{n+r-2}.
A equação indicial provém ao substituir essas séries na EDO e requerer que o coeficiente do menor expoente em x seja zero (esse menor expoente é x^{r} neste tipo de substituição).

Passo 3

Substituo as séries na EDO termo a termo. Calculo cada contribuição multiplicada pelas potências de x que aparecem na equação:
2x^{2}y''=2\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(n+r)(n+r-1)\,x^{n+r},
-x y'=-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(n+r)\,x^{n+r},
(1+x)y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,x^{n+r}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,x^{n+r+1}.

Passo 4

Agrupo as parcelas que têm potência x^{n+r} e separo a soma que começa em x^{n+r+1}:
\sum_{n=0}^{\infty} \bigl[2(n+r)(n+r-1)-(n+r)+1\bigr] a_{n}\,x^{n+r} +\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,x^{n+r+1}=0.
A segunda soma tem potências mínimas x^{r+1}, portanto o menor expoente total da expressão é x^{r} e vem do termo n=0 da primeira soma. Para que a igualdade seja válida para todo x (série identicamente zero), o coeficiente do termo x^{r} deve ser zero. Esse coeficiente é
\bigl[2r(r-1)-r+1\bigr]a_{0}.
No Método de Frobenius tomamos a_{0}\neq0, logo a parte entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos a equação indicial.

Passo 5

Escrevo a equação indicial e simplifico:
2r(r-1)-r+1=0.
Expandindo:
2r^{2}-2r-r+1=0\quad\Longrightarrow\quad 2r^{2}-3r+1=0.
Resolvo a quadrática: o discriminante é \Delta=(-3)^{2}-4\cdot2\cdot1=9-8=1. As raízes são
r=\frac{3\pm\sqrt{1}}{4}=\frac{3\pm1}{4}.
Portanto as duas raízes são r_{1}=\dfrac{3+1}{4}=1 e r_{2}=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}.

Resposta

2r(r-1)-r+1=0
r_{1}=1,\quad r_{2}=\tfrac{1}{2}

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