Partindo do repouso, um disco gira em torno do eixo central com uma aceleração angular constante. O disco gira 20 rad em 4 s. Durante esse tempo, qual é o módulo (a) da aceleração angular e (b) da velocidade angular média? (c) Qual é a velocidade angular instantânea do disco ao final dos 4,0 \mathrm{~s} ? (d) Com a aceleração angular mantida, que ângulo adicional o disco irá descrever nos 2,0 \mathrm{~s} seguintes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Dados fornecidos:
    • O disco parte do repouso, então \omega_0=0.
    • O disco gira \,20 rad no intervalo de tempo \,4{,}0\\ \mathrm{s}. Vou tratar esse deslocamento angular como \Delta\theta=20\\ \mathrm{rad} e o intervalo como t_1=4{,}0\\ \mathrm{s}.
    • A aceleração angular é constante durante todo o movimento.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o módulo da aceleração angular durante esses 4{,}0\\ \mathrm{s}?
    (b) Qual é o módulo da velocidade angular média nesse mesmo intervalo de 4{,}0\\ \mathrm{s}?
    (c) Qual é a velocidade angular instantânea ao final dos 4{,}0\\ \mathrm{s}?
    (d) Mantendo a mesma aceleração angular, qual ângulo adicional o disco descreve nos próximos 2{,}0\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (explicação didática, tipo “aula rápida”):
  • Variáveis que vamos usar:
    • \theta: deslocamento angular (em radianos).
    • \Delta\theta: variação de \theta num intervalo de tempo.
    • \omega: velocidade angular instantânea (em \mathrm{rad/s}).
    • \omega_0: velocidade angular inicial.
    • \alpha: aceleração angular (em \mathrm{rad/s^2}).
    • t: tempo (em s).
  • Para movimento com aceleração angular constante existem fórmulas análogas às do movimento retilíneo uniformemente acelerado. Duas fórmulas fundamentais que usaremos são:
\Delta\theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2
\omega = \omega_0 + \alpha t
Explicando por que: a aceleração angular constante \alpha significa que a velocidade angular cresce linearmente com o tempo, por isso \omega(t)=\omega_0+\alpha t. O deslocamento angular \Delta\theta é a área sob a curva \omega(t) no intervalo — para uma variação linear dá a média (\omega_0+\omega)/2 vezes t, que conduz à fórmula com o termo \tfrac{1}{2}\alpha t^2.
  • Velocidade angular média \bar{\omega} num intervalo é definida como a razão entre variação angular e tempo:
\bar{\omega} = \frac{\Delta\theta}{t}.

Passo 3

Calcular a aceleração angular \alpha usando os dados do primeiro intervalo ( \Delta\theta=20\\ \mathrm{rad}, t_1=4{,}0\\ \mathrm{s}, \omega_0=0).
Usamos a fórmula
\Delta\theta = \omega_0 t_1 + \tfrac{1}{2}\alpha t_1^2.
Como \omega_0=0, isso simplifica para
20 = \tfrac{1}{2}\alpha (4{,}0)^2.
Agora calculamos passo a passo:
(4{,}0)^2 = 16,
então
20 = \tfrac{1}{2}\alpha \cdot 16 = 8\alpha.
Isolando \alpha:
\alpha = \frac{20}{8} = 2{,}5\\ \mathrm{rad/s^2}.

Passo 4

Explicando resultado e unidades (motivação): \alpha=2{,}5\\ \mathrm{rad/s^2} significa que a velocidade angular do disco aumenta 2{,}5\\ \mathrm{rad/s} a cada segundo. É o módulo pedido em (a).

Passo 5

Calcular a velocidade angular média \bar{\omega} no primeiro intervalo ( t_1=4{,}0\\ \mathrm{s}). Usamos
\bar{\omega} = \frac{\Delta\theta}{t_1} = \frac{20}{4{,}0}.
Fazendo a divisão:
\bar{\omega} = 5{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: é a velocidade angular “média” que, multiplicada pelo tempo, dá o giro total de 20\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Calcular a velocidade angular instantânea ao final dos 4{,}0\\ \mathrm{s} (pergunta (c)). Usamos
\omega = \omega_0 + \alpha t_1.
Com \omega_0=0, \alpha=2{,}5\\ \mathrm{rad/s^2} e t_1=4{,}0\\ \mathrm{s}:
\omega = 0 + 2{,}5 \times 4{,}0 = 10{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: ao fim de 4\\ \mathrm{s} o disco está girando com velocidade angular de 10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Calcular o ângulo adicional nos 2{,}0\\ \mathrm{s} seguintes (pergunta (d)) mantendo a mesma \alpha.
Agora o movimento no segundo intervalo começa com velocidade inicial igual à velocidade ao fim do primeiro intervalo, ou seja \omega_{0,2}=\omega(t_1)=10{,}0\\ \mathrm{rad/s}. Tomamos t_2=2{,}0\\ \mathrm{s} como duração desse intervalo. A variação angular adicional \Delta\theta_2 é dada por
\Delta\theta_2 = \omega_{0,2} t_2 + \tfrac{1}{2}\alpha t_2^2.
Substituindo números:
\Delta\theta_2 = 10{,}0 \times 2{,}0 + \tfrac{1}{2}\times 2{,}5 \times (2{,}0)^2.
Calculemos passo a passo:
10{,}0 \times 2{,}0 = 20{,}0,
(2{,}0)^2 = 4,
\tfrac{1}{2}\times 2{,}5 \times 4 = 1{,}25 \times 4 = 5{,}0.
Somando:
\Delta\theta_2 = 20{,}0 + 5{,}0 = 25{,}0\\ \mathrm{rad}.

Resposta

(a) \,2{,}5\\ \mathrm{rad/s^2}
(b) \,5{,}0\\ \mathrm{rad/s}
(c) \,10{,}0\\ \mathrm{rad/s}
(d) \,25{,}0\\ \mathrm{rad}

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