Partindo do repouso, um disco gira em torno do eixo central com uma aceleração angular constante. O disco gira 20 rad em 4 s. Durante esse tempo, qual é o módulo (a) da aceleração angular e (b) da velocidade angular média? (c) Qual é a velocidade angular instantânea do disco ao final dos
? (d) Com a aceleração angular mantida, que ângulo adicional o disco irá descrever nos
seguintes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
-
Dados fornecidos:
- O disco parte do repouso, então
. - O disco gira
rad no intervalo de tempo . Vou tratar esse deslocamento angular como e o intervalo como . - A aceleração angular é constante durante todo o movimento.
- O disco parte do repouso, então
-
Perguntas:
(a) Qual é o módulo da aceleração angular durante esses?
(b) Qual é o módulo da velocidade angular média nesse mesmo intervalo de?
(c) Qual é a velocidade angular instantânea ao final dos?
(d) Mantendo a mesma aceleração angular, qual ângulo adicional o disco descreve nos próximos?
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas (explicação didática, tipo “aula rápida”):
-
Variáveis que vamos usar:
-
: deslocamento angular (em radianos). -
: variação de num intervalo de tempo. -
: velocidade angular instantânea (em ). -
: velocidade angular inicial. -
: aceleração angular (em ). -
: tempo (em s).
-
-
Para movimento com aceleração angular constante existem fórmulas análogas às do movimento retilíneo uniformemente acelerado. Duas fórmulas fundamentais que usaremos são:
Explicando por que: a aceleração angular constante
significa que a velocidade angular cresce linearmente com o tempo, por isso
. O deslocamento angular
é a área sob a curva
no intervalo — para uma variação linear dá a média
vezes
, que conduz à fórmula com o termo
.
- Velocidade angular média
num intervalo é definida como a razão entre variação angular e tempo:
Passo 3
Calcular a aceleração angular
usando os dados do primeiro intervalo (
,
,
).
Usamos a fórmula
Como
, isso simplifica para
Agora calculamos passo a passo:
então
Isolando
:
Passo 4
Explicando resultado e unidades (motivação):
significa que a velocidade angular do disco aumenta
a cada segundo. É o módulo pedido em (a).
Passo 5
Calcular a velocidade angular média
no primeiro intervalo (
). Usamos
Fazendo a divisão:
Interpretação: é a velocidade angular “média” que, multiplicada pelo tempo, dá o giro total de
.
Passo 6
Calcular a velocidade angular instantânea ao final dos
(pergunta (c)). Usamos
Com
,
e
:
Interpretação: ao fim de
o disco está girando com velocidade angular de
.
Passo 7
Calcular o ângulo adicional nos
seguintes (pergunta (d)) mantendo a mesma
.
Agora o movimento no segundo intervalo começa com velocidade inicial igual à velocidade ao fim do primeiro intervalo, ou seja
. Tomamos
como duração desse intervalo. A variação angular adicional
é dada por
Substituindo números:
Calculemos passo a passo:
Somando:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)