Uma particula de
tem coordenadas xy (
) e uma partícula de
tem coordenadas xy (
). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada y deve ser posicionada uma terceira partícula de
para que o centro de massa do sistema de três particulas tenha coordenadas (
)?
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a coordenada
em que devemos colocar uma terceira partícula de
para que o centro de massa do sistema de três partículas tenha coordenadas
.
Informações dadas:
- Partícula 1: massa
e coordenadas . - Partícula 2: massa
e coordenadas . - Partícula 3: massa
e coordenadas , onde é a incógnita que queremos achar. (O valor de não é necessário para determinar .) - Coordenada
desejada do centro de massa: .
Passo 2
Fórmula e ideia física usada: a coordenada
do centro de massa de um sistema de partículas é a média ponderada das coordenadas
de cada partícula, ponderadas pelas massas. Escrevemos isso assim:
Explicando as letras:
-
significa somar os produtos massa vezes coordenada de cada partícula (esses produtos chamam-se momentos em relação ao eixo ). -
é a massa total do sistema.
Entãoé simplesmente o total dos momentos dividido pela massa total — uma média ponderada.
Um pequeno exemplo concreto (para você entender): se duas partículas idênticas (
e
) estão em
e
, a média ponderada dá
, ou seja, o ponto médio.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com três partículas:
Queremos isolar
. Multiplicando ambos os lados por
e resolvendo para
dá:
Passo 4
Agora substituímos os números (vou calcular passo a passo para você conseguir acompanhar na prova):
- Massa total:
- Produto
vezes massa total:
- Momentos conhecidos:
- Soma dos momentos das duas primeiras partículas:
- Finalmente, substituindo na fórmula para
:
Passo 5
Interpretação e dica prática: o valor
significa que a terceira partícula deve ser colocada abaixo da origem (no sentido negativo do eixo
), a cerca de
do eixo
. Na prova, faça os mesmos passos: escreva a fórmula do centro de massa, isole a incógnita e calcule os momentos um a um — isso evita erros.