Uma particula de 1,00 \mathrm{~kg} tem coordenadas xy ( -1,0 \mathrm{~m}, 0,5 \mathrm{~m} ) e uma partícula de 3,00 \mathrm{~kg} tem coordenadas xy ( 0,4 \mathrm{~m},-0,55 \mathrm{~m} ). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada y deve ser posicionada uma terceira partícula de 2,00 \mathrm{~kg} para que o centro de massa do sistema de três particulas tenha coordenadas ( -1,0 \mathrm{~m},-0,8 \mathrm{~m} )?

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a coordenada y em que devemos colocar uma terceira partícula de 2,00\\ \mathrm{kg} para que o centro de massa do sistema de três partículas tenha coordenadas (-1,0\\ \mathrm{m},\,-0,8\\ \mathrm{m}).
Informações dadas:
  • Partícula 1: massa m_1 = 1,00\\ \mathrm{kg} e coordenadas (x_1,y_1)=(-1,0\\ \mathrm{m},\;0,5\\ \mathrm{m}).
  • Partícula 2: massa m_2 = 3,00\\ \mathrm{kg} e coordenadas (x_2,y_2)=(0,4\\ \mathrm{m},\;-0,55\\ \mathrm{m}).
  • Partícula 3: massa m_3 = 2,00\\ \mathrm{kg} e coordenadas (x_3,y_3), onde y_3 é a incógnita que queremos achar. (O valor de x_3 não é necessário para determinar y_3.)
  • Coordenada y desejada do centro de massa: y_{\text{CM}} = -0,8\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Fórmula e ideia física usada: a coordenada y do centro de massa de um sistema de partículas é a média ponderada das coordenadas y de cada partícula, ponderadas pelas massas. Escrevemos isso assim:
y_{\text{CM}}=\frac{\sum_i m_i y_i}{\sum_i m_i}.
Explicando as letras:
  • \sum_i m_i y_i significa somar os produtos massa vezes coordenada y de cada partícula (esses produtos chamam-se momentos em relação ao eixo x).
  • \sum_i m_i é a massa total do sistema.
    Então y_{\text{CM}} é simplesmente o total dos momentos dividido pela massa total — uma média ponderada.
Um pequeno exemplo concreto (para você entender): se duas partículas idênticas ( m e m) estão em y=0 e y=2, a média ponderada dá y_{\text{CM}}=(m\cdot0 + m\cdot2)/(m+m)=1, ou seja, o ponto médio.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com três partículas:
y_{\text{CM}}=\frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1+m_2+m_3}.
Queremos isolar y_3. Multiplicando ambos os lados por m_1+m_2+m_3 e resolvendo para y_3 dá:
m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 = y_{\text{CM}}(m_1+m_2+m_3),
y_3 = \frac{y_{\text{CM}}(m_1+m_2+m_3) - (m_1 y_1 + m_2 y_2)}{m_3}.

Passo 4

Agora substituímos os números (vou calcular passo a passo para você conseguir acompanhar na prova):
  • Massa total:
m_1+m_2+m_3 = 1{,}00 + 3{,}00 + 2{,}00 = 6{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Produto y_{\text{CM}} vezes massa total:
y_{\text{CM}}(m_1+m_2+m_3) = -0{,}8 \times 6{,}00 = -4{,}8\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Momentos conhecidos:
m_1 y_1 = 1{,}00 \times 0{,}5 = 0{,}5\\ \mathrm{kg\cdot m},
m_2 y_2 = 3{,}00 \times (-0{,}55) = -1{,}65\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Soma dos momentos das duas primeiras partículas:
m_1 y_1 + m_2 y_2 = 0{,}5 + (-1{,}65) = -1{,}15\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Finalmente, substituindo na fórmula para y_3:
y_3 = \frac{-4{,}8 - (-1{,}15)}{2{,}00} = \frac{-4{,}8 + 1{,}15}{2{,}00} = \frac{-3{,}65}{2{,}00} = -1{,}825\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação e dica prática: o valor y_3=-1{,}825\\ \mathrm{m} significa que a terceira partícula deve ser colocada abaixo da origem (no sentido negativo do eixo y), a cerca de 1{,}825\\ \mathrm{m} do eixo x. Na prova, faça os mesmos passos: escreva a fórmula do centro de massa, isole a incógnita e calcule os momentos um a um — isso evita erros.

Resposta

-1{,}825\\ \mathrm{m}

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