O momento de inércia de uma roda não uniforme de massa M e raio R vem dado por I=beta M R^2, onde beta deve ser determinado. A roda rola (sem deslizar) por um plano inclinado, que forma ângulo theta com a horizontal, de tal forma que a aceleração da roda é igual a a=g sen theta / 2. Determine beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com dinâmica de rotação, especificamente com o momento de inércia de uma roda não uniforme. O enunciado nos dá a fórmula do momento de inércia $ I = \beta M R^{2} $ e quer saber o valor de $ \beta $. Além disso, a roda está rolando sem deslizar por um plano inclinado com um ângulo $ \theta $, e a aceleração da roda é $ a = \frac{g \sin \theta}{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, torque e aceleração em movimento rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma roda rola sem deslizar, há uma relação entre a aceleração linear $ a $ e a aceleração angular $ \alpha $. Essa relação é dada por:
a
Aqui, $ R $ é o raio da roda. Essa equação mostra que a aceleração linear da roda está diretamente ligada à sua rotação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para translação e rotação. Para a translação, a força resultante $ F_{resultante} $ que faz a roda acelerar é a componente do peso ao longo do plano inclinado menos a força de atrito $ f $:
Fresu
Para a rotação, o torque $ \tau $ causado pela força de atrito é:
f
Substituindo $ \alpha $ por $ \frac{a}{R} $ na equação do torque:
Fresu

Passo 4

Agora, vamos substituir $ f $ na equação da força resultante:
f
Sabemos que $ I = \beta M R^{2} $, então substituindo na equação:
M g sin theta - I aR^2 = M a
Simplificando:
I = beta M R^2
Dividindo todos os termos por $ M $:
M g sin theta - beta M R^2 aR^2 = M a

Passo 5

Vamos isolar $ \beta $:
beta
Então:
g sin theta - a = beta a

Passo 6

Sabemos pelo enunciado que $ a = \frac{g \sin \theta}{2} $. Substituindo na equação de $ \beta $:
a = g sin theta2

Resposta

O valor de $ \beta $ é 1.

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