Questão: (20 pontos) Uma massa de
estica uma mola de
. Uma força externa de
age sobre o sistema. Se a massa é puxada
para baixo e depois solta, determine a posição da massa em qualquer instante de tempo. Utilize
e lembre-se que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a posição da massa para qualquer instante de tempo, ou seja, achar
(posição vertical da massa medida a partir de uma origem que vamos definir) levando em conta a mola, o peso e a força externa.
Dados fornecidos:
e foi indicado que
Observações que vou usar (a partir do enunciado, sem resolver ainda):
- A indicação
dá a constante elástica da mola. - A massa é deslocada
para baixo e solta: isso fornece as condições iniciais no instante . - A força externa é senoidal
; preciso combiná-la com as forças elástica e peso para montar a equação do movimento.
Passo 2
Escolha de coordenadas e montagem da equação de movimento (explicação conceitual):
- Vou medir
como o deslocamento vertical a partir da posição de equilíbrio estático da massa (positivo para baixo). Esta escolha é útil porque, ao medir desde a posição de equilíbrio estático, o termo gravitacional se cancela com a deformação estática da mola — isso simplifica a equação diferencial. - Forças atuantes (com sinal positivo para baixo): força elástica restauradora da mola (no sentido oposto ao deslocamento a partir da posição natural) e a força externa aplicada
. Como estou medindo a partir do equilíbrio estático, a componente do peso já está compensada na definição do equilíbrio; logo a equação de movimento relativa ao equilíbrio fica do tipo massa vezes aceleração = soma das forças externas (restantes). - A equação padrão para pequenas oscilações em torno do equilíbrio (quando a gravidade foi eliminada pela escolha de origem) é
Passo 3
Cálculo da constante da mola
:
Usando a relação dada , substituo os valores (todos em TeX):
Usando a relação dada
Portanto
.
Passo 4
Escrever a equação diferencial numérica:
Substituindo ,
e
na equação
Substituindo
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar os coeficientes:
Passo 5
Análise da equação homogênea e solução geral: (aula curta sobre o método)
- A equação homogênea associada é
- Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral tem forma de senos e cossenos porque as raízes do polinômio característico são puramente imaginárias.
- O polinômio característico é
, com raízes . Assim a frequência natural do sistema é
- A solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Encontrar uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados) — explicando passo a passo:
- A força externa é
(lado direito da equação simplificada). Como o forçamento é senoidal com frequência , tento uma solução particular da forma
onde
são constantes a determinar.
- Calculo a segunda derivada:
- Substituo
e na equação :
- Agrupando termos de
e :
- Igualando coeficientes obtemos o sistema
- Assim
- Portanto a solução particular é
Observação didática: esse procedimento funciona porque
não é raiz da equação característica (não há ressonância). Se a frequência de forçamento fosse
teríamos que multiplicar a tentativa por
.
Passo 7
Solução geral e aplicação das condições iniciais (passo a passo das contas):
- A solução geral da equação completa é soma da homogênea e da particular:
- Condições iniciais: “puxada
m para baixo e solta” significa que, no instante ,
- Avaliando
:
Logo
- Calculo
para impor . Derivando :
- Avaliando em
:
Impondo
dá
- Logo
Passo 8
Escrever a solução final e comentar brevemente:
- Substituindo
e encontrados em :
- Interpretação rápida: a solução é soma de oscilações livres (termos com
, ) com a resposta forçada estacionária . A frequência natural do sistema é e a frequência do forçamento é , como são diferentes não há ressonância.