5^{a} Questão: (20 pontos) Uma massa de m=1 / 4 \mathrm{~kg} estica uma mola de L=0,10 \mathrm{mt}. Uma força externa de 3 \sin 3 t N age sobre o sistema. Se a massa é puxada 0,2 \mathrm{mt} para baixo e depois solta, determine a posição da massa em qualquer instante de tempo. Utilize g=10 \mathrm{mt} / \mathrm{seg}^{2} e lembre-se que k=m g / L.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a posição da massa para qualquer instante de tempo, ou seja, achar x(t) (posição vertical da massa medida a partir de uma origem que vamos definir) levando em conta a mola, o peso e a força externa.
Dados fornecidos:
m=\tfrac{1}{4}\\ \text{kg},\qquad L=0,10\\ \text{m},\qquad F_{\text{ext}}(t)=3\sin(3t)\\ \text{N},
\text{a massa é puxada }0,2\\ \text{m para baixo e solta (velocidade inicial }0), \qquad g=10\\ \text{m/s}^2,é
e foi indicado que
k=\frac{m g}{L}.
Observações que vou usar (a partir do enunciado, sem resolver ainda):
  • A indicação k=\dfrac{m g}{L} dá a constante elástica da mola.
  • A massa é deslocada 0,2\\ \text{m} para baixo e solta: isso fornece as condições iniciais no instante t=0.
  • A força externa é senoidal 3\sin(3t); preciso combiná-la com as forças elástica e peso para montar a equação do movimento.

Passo 2

Escolha de coordenadas e montagem da equação de movimento (explicação conceitual):
  • Vou medir x(t) como o deslocamento vertical a partir da posição de equilíbrio estático da massa (positivo para baixo). Esta escolha é útil porque, ao medir desde a posição de equilíbrio estático, o termo gravitacional se cancela com a deformação estática da mola — isso simplifica a equação diferencial.
  • Forças atuantes (com sinal positivo para baixo): força elástica restauradora da mola (no sentido oposto ao deslocamento a partir da posição natural) e a força externa aplicada 3\sin(3t). Como estou medindo a partir do equilíbrio estático, a componente do peso já está compensada na definição do equilíbrio; logo a equação de movimento relativa ao equilíbrio fica do tipo massa vezes aceleração = soma das forças externas (restantes).
  • A equação padrão para pequenas oscilações em torno do equilíbrio (quando a gravidade foi eliminada pela escolha de origem) é
m\,x''(t)+k\,x(t)=F_{\text{ext}}(t).

Passo 3

Cálculo da constante da mola k:
Usando a relação dada \;k=\dfrac{m g}{L}\;, substituo os valores (todos em TeX):
k=\frac{\tfrac{1}{4}\cdot 10}{0,10}=\frac{2,5}{0,10}=25\\ \text{N/m}.
Portanto k=25\\ \text{N/m}.

Passo 4

Escrever a equação diferencial numérica:
Substituindo m=\tfrac{1}{4}, k=25 e F_{\text{ext}}(t)=3\sin(3t) na equação
m x''+k x=F_{\text{ext}}(t),
obtemos
\frac{1}{4}x''(t)+25\,x(t)=3\sin(3t).
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar os coeficientes:
x''(t)+100\,x(t)=12\sin(3t).

Passo 5

Análise da equação homogênea e solução geral: (aula curta sobre o método)
  • A equação homogênea associada é
x_h''+100\,x_h=0.
  • Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral tem forma de senos e cossenos porque as raízes do polinômio característico são puramente imaginárias.
  • O polinômio característico é r^2+100=0, com raízes r=\pm 10i. Assim a frequência natural do sistema é
\omega_0=10\\ \text{rad/s}.
  • A solução geral da homogênea é
x_h(t)=A\cos(10t)+B\sin(10t),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Encontrar uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados) — explicando passo a passo:
  • A força externa é 12\sin(3t) (lado direito da equação simplificada). Como o forçamento é senoidal com frequência \omega=3, tento uma solução particular da forma
x_p(t)=\alpha\sin(3t)+\beta\cos(3t),
onde \alpha,\beta são constantes a determinar.
  • Calculo a segunda derivada:
x_p''(t)=-9\alpha\sin(3t)-9\beta\cos(3t).
  • Substituo x_p e x_p'' na equação x''+100x=12\sin(3t):
(-9\alpha\sin(3t)-9\beta\cos(3t)) +100(\alpha\sin(3t)+\beta\cos(3t))=12\sin(3t).
  • Agrupando termos de \sin(3t) e \cos(3t):
(91\alpha)\sin(3t)+(91\beta)\cos(3t)=12\sin(3t)+0\cdot\cos(3t).
  • Igualando coeficientes obtemos o sistema
91\alpha=12,\qquad 91\beta=0.
  • Assim
\alpha=\frac{12}{91},\qquad \beta=0.
  • Portanto a solução particular é
x_p(t)=\frac{12}{91}\sin(3t).
Observação didática: esse procedimento funciona porque 3 não é raiz da equação característica (não há ressonância). Se a frequência de forçamento fosse 10 teríamos que multiplicar a tentativa por t.

Passo 7

Solução geral e aplicação das condições iniciais (passo a passo das contas):
  • A solução geral da equação completa é soma da homogênea e da particular:
x(t)=A\cos(10t)+B\sin(10t)+\frac{12}{91}\sin(3t).
  • Condições iniciais: “puxada 0,2 m para baixo e solta” significa que, no instante t=0,
x(0)=0,2\\ \text{m}\quad\text{(deslocamento inicial para baixo)} ,\qquad x'(0)=0\\ \text{m/s}.
  • Avaliando x(0):
x(0)=A\cos 0 + B\sin 0 + \frac{12}{91}\sin 0 = A.
Logo
A=0,2.
  • Calculo x'(t) para impor x'(0)=0. Derivando x(t):
x'(t)=-10A\sin(10t)+10B\cos(10t)+\frac{12}{91}\cdot 3\cos(3t).
  • Avaliando em t=0:
x'(0)= -10A\cdot 0 +10B\cdot 1 +\frac{36}{91}\cdot 1 = 10B+\frac{36}{91}.
Impondo x'(0)=0
10B+\frac{36}{91}=0 \quad\Rightarrow\quad 10B=-\frac{36}{91}.
  • Logo
B=-\frac{36}{91}\cdot\frac{1}{10}=-\frac{36}{910}=-\frac{18}{455}.

Passo 8

Escrever a solução final e comentar brevemente:
  • Substituindo A e B encontrados em x(t):
x(t)=0,2\cos(10t)-\frac{18}{455}\sin(10t)+\frac{12}{91}\sin(3t).
  • Interpretação rápida: a solução é soma de oscilações livres (termos com \cos(10t), \sin(10t)) com a resposta forçada estacionária \dfrac{12}{91}\sin(3t). A frequência natural do sistema é 10\\ \text{rad/s} e a frequência do forçamento é 3\\ \text{rad/s}, como são diferentes não há ressonância.

Resposta

x(t)=0,2\cos(10t)-\dfrac{18}{455}\sin(10t)+\dfrac{12}{91}\sin(3t)

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