monte e calcule a integral sobre a região
sendo ela um cilindro reto cuja a base é a região no plano xy que está dentro da cardióide
e fora da circunferência
e cujo topo está no plano
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos montar e calcular uma integral sobre a região
. A região
é um cilindro reto cuja base está no plano
, definida pela área dentro da cardiode
e fora da circunferência
. O topo do cilindro está no plano
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a integração nessa base.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração na base do cilindro. Em coordenadas polares,
representa a distância do ponto até a origem, e
é o ângulo. A cardiode é dada por
e a circunferência por
. Queremos a região que está dentro da cardiode e fora da circunferência. Portanto,
varia de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para o ângulo
. Como a cardiode completa uma volta completa ao redor da origem,
varia de
a
radianos.
Passo 4
No eixo
, o cilindro vai do plano
até
. Então,
varia de 0 a 4.
Passo 5
A integral para calcular o volume do cilindro será:
Aqui,
é o fator que aparece devido à transformação para coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a
:
Isso simplifica a integral para:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos resolver essa integral termo a termo. Primeiro, a integral de
:
Isso acontece porque a função
é simétrica e sua integral completa a área positiva e negativa, cancelando-se.
Passo 10
Agora, a integral de
:
Sabemos que
, então:
A integral da
também cancela, deixando apenas
.
Resposta
O volume da região
é
unidades cúbicas.