monte e calcule a integral sobre a região D sendo ela um cilindro reto cuja a base é a região no plano xy que está dentro da cardióide r=1+cos theta e fora da circunferência r=1 e cujo topo está no plano z=4

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos montar e calcular uma integral sobre a região . A região é um cilindro reto cuja base está no plano , definida pela área dentro da cardiode e fora da circunferência . O topo do cilindro está no plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a integração nessa base.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração na base do cilindro. Em coordenadas polares, representa a distância do ponto até a origem, e é o ângulo. A cardiode é dada por e a circunferência por . Queremos a região que está dentro da cardiode e fora da circunferência. Portanto, varia de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para o ângulo . Como a cardiode completa uma volta completa ao redor da origem, varia de a radianos.

Passo 4

No eixo , o cilindro vai do plano até . Então, varia de 0 a 4.

Passo 5

A integral para calcular o volume do cilindro será:
V = integral0^2pi integral1^1 + cos theta integral0^4 r , dz , dr , dtheta
Aqui, é o fator que aparece devido à transformação para coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a integral0^4 r , dz = r times [ z ]0^4 = 4r :
V = integral0^2pi integral1^1 + cos theta 4r , dr , dtheta
Isso simplifica a integral para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral1^1 + cos theta 4r , dr = 4 times [ r^22 ]1^1 + cos theta = 2 [ (1 + cos theta)^2 - 1 ] :

Passo 8

Expandindo 2 [ 1 + 2cos theta + cos^2 theta - 1 ] = 4cos theta + 2cos^2 theta :
V = integral0^2pi ( 4cos theta + 2cos^2 theta ) dtheta
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos resolver essa integral termo a termo. Primeiro, a integral de integral0^2pi 4cos theta , dtheta = 0 :
Isso acontece porque a função é simétrica e sua integral completa a área positiva e negativa, cancelando-se.

Passo 10

Agora, a integral de integral0^2pi 2cos^2 theta , dtheta :
2 integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = integral0^2pi (1 + cos 2theta) , dtheta = 2pi
Sabemos que , então:
A integral da também cancela, deixando apenas .

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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