(2 pontos) Seja f(z)=llz^3 / z^2, & se z neq 0 0, & caso contrário á Determine se f é derivável no ponto 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida de duas maneiras diferentes: quando é diferente de zero e quando é igual a zero. A nossa missão é descobrir se essa função é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções complexas e como verificar a derivabilidade em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(z) = z^3z^2 = z quando . Temos:
Então, para , a função se resume a .

Passo 3

Agora, sabemos que para a função ser derivável em limz to 0 f(z) = limz to 0 z = 0 = f(0) , ela precisa ser contínua nesse ponto e a derivada deve existir ali. Vamos primeiro verificar a continuidade.
A função está definida como . Para ser contínua em , o limite de quando se aproxima de 0 deve ser igual a .
Então, a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a existência da derivada em f'(0) = limz to 0 f(z) - f(0)z - 0 = limz to 0 z - 0z = limz to 0 1 = 1 . A derivada de em é definida por:
Então, a derivada existe e vale 1.

Passo 5

Além disso, observando a função para , que é , sabemos que a derivada dessa função é constante e igual a 1 em todos os pontos onde está definida. Portanto, a derivada em também é consistente com o comportamento da função nos demais pontos.

Resposta

A função é derivável no ponto e sua derivada nesse ponto é igual a .

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