(2 pontos) Seja
Determine se
é derivável no ponto 0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função
definida de duas maneiras diferentes: quando
é diferente de zero e quando
é igual a zero. A nossa missão é descobrir se essa função é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções complexas e como verificar a derivabilidade em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
quando
. Temos:
Então, para
, a função
se resume a
.
Passo 3
Agora, sabemos que para a função ser derivável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto e a derivada deve existir ali. Vamos primeiro verificar a continuidade.
A função está definida como
. Para ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de 0 deve ser igual a
.
Então, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a existência da derivada em
. A derivada de
em
é definida por:
Então, a derivada existe e vale 1.
Passo 5
Além disso, observando a função para
, que é
, sabemos que a derivada dessa função é constante e igual a 1 em todos os pontos onde está definida. Portanto, a derivada em
também é consistente com o comportamento da função nos demais pontos.
Resposta
A função
é derivável no ponto
e sua derivada nesse ponto é igual a
.