(2 pontos) Verifique que
é harmônica e encontre uma conjugada harmônica para ela.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é harmônica. Além disso, temos que encontrar uma função conjugada harmônica para
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a equação de Laplace.
Passo 2
Uma função é harmônica se satisfaz a equação de Laplace, ou seja, se a soma das suas segundas derivadas parciais em relação a
e
for igual a zero:
Vamos calcular as derivadas de
.
Passo 3
Primeiro, calculamos as primeiras derivadas parciais:
Agora, calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 4
Somando as segundas derivadas parciais:
Como a soma é igual a zero, concluímos que
é uma função harmônica.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma função conjugada harmônica
. Sabemos que se
é harmônica, então existe uma função
tal que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
Usando as derivadas que calculamos anteriormente:
Passo 6
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Para simplificar, podemos absorver a constante
na função e considerar
.
Resposta
A função
é harmônica e uma função conjugada harmônica para ela é
.