(2 pontos) Verifique que u(x, y)=ln (x^2+y^2) é harmônica e encontre uma conjugada harmônica para ela.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é harmônica. Além disso, temos que encontrar uma função conjugada harmônica para . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a equação de Laplace.

Passo 2

Uma função é harmônica se satisfaz a equação de Laplace, ou seja, se a soma das suas segundas derivadas parciais em relação a partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 e for igual a zero:
Vamos calcular as derivadas de .

Passo 3

Primeiro, calculamos as primeiras derivadas parciais:
partial upartial x = 2xx^2 + y^2, partial upartial y = 2yx^2 + y^2
Agora, calculamos as segundas derivadas parciais:
partial^2 upartial x^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2, partial^2 upartial y^2 = 2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Somando as segundas derivadas parciais:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 + 2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 = 0
Como a soma é igual a zero, concluímos que é uma função harmônica.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma função conjugada harmônica partial upartial x = partial vpartial y, partial upartial y = -partial vpartial x . Sabemos que se 2xx^2 + y^2 = partial vpartial y, 2yx^2 + y^2 = -partial vpartial x é harmônica, então existe uma função tal que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
Usando as derivadas que calculamos anteriormente:

Passo 6

Vamos integrar a primeira equação em relação a v(x, y) = integral 2xx^2 + y^2 , dy = 2x cdot ( -1x arctan(yx) ) + C(x) = -2 arctan(yx) + C(x) :
Para simplificar, podemos absorver a constante na função e considerar .

Resposta

A função é harmônica e uma função conjugada harmônica para ela é .

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