Monte uma integral tripla que fornece o volume do sólido limitado lateralmente por y=16x, y=x e x=8, acima por z=x^2 e abaixo por z=0.

Passo 1

O enunciado pede montar uma integral tripla para o volume do sólido que, em coordenadas cartesianas, está limitado lateralmente pelas superfícies y=tfrac16x, y=x e x=8, acima por z=x^2 e abaixo por z=0. Para resolver, primeiro projetamos esse sólido no plano xy e determinamos a região D correspondente, depois identificamos os limites de z.

Passo 2

As curvas y=tfrac16x e y=x se intersectam quando
x = 16x Longrightarrow x^2=16 Longrightarrow x=4(x>0)
Essa interseção, junto com a reta vertical x=8, fecha a região D no plano xy.

Passo 3

Para cada valor de x entre 4 e 8, o valor de y varia da curva inferior y=tfrac16x até a curva superior y=x. Logo,
4 <= x <= 8, 16x <= y <= x

Passo 4

Em cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia de 0 até x^2. Assim, a integral tripla que fornece o volume V é
V = integralx=4^8 integraly=16x^x integralz=0^x^2 dz,dy,dx

Resposta

integral4^8 integraltfrac16x^x integral0^x^2 dz,dy,dx

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