Encontre o máximo e o mínimo das funções abaixo nos intervalos indicados.
a) f(x)=x^2-4x+3, [0,5]
b) g(x)=ln(x) + 2x, [1,e]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x)=x^2-4x+3 em [0,5] e de g(x)=ln(x)+2x em [1,e]. Para isso, vamos usar derivadas para encontrar pontos críticos e comparar com os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Para f, calcule a derivada:
f'(x)=2x-4
Igualando a zero para achar pontos críticos:
2x-4=0implies x=2
Como 2in[0,5], esse ponto crítico interessa.

Passo 3

Avalie f em x=0, x=2 e x=5:
f(0)=0^2-4cdot0+3=3,
f(2)=2^2-4cdot2+3=4-8+3=-1,
f(5)=5^2-4cdot5+3=25-20+3=8
Comparando os valores, o menor é -1 em x=2 (mínimo) e o maior é 8 em x=5 (máximo).

Passo 4

Para g, calcule a derivada:
g'(x)=1x+2
Como x>0 em [1,e], segue que tfrac1x>0 e portanto g'(x)>0 em todo o intervalo. Logo, g é estritamente crescente em [1,e].

Passo 5

Numa função crescente, o mínimo ocorre no extremo esquerdo e o máximo no extremo direito. Assim:
g(1)=ln(1)+2cdot1=0+2=2,
g(e)=ln(e)+2e=1+2e

Resposta

a) Em [0,5]:
min f=-1 em x=2;
max f=8 em x=5.
b) Em [1,e]:
min g=2 em x=1;
max g=1+2e em x=e.

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