→ Montgomery (2012) described a 2^{4-1} fractional factorial design used to study four factors in a chemical process. The factors are A= temperature, B= pressure, C= concentration, and D= stirring rate, and the response is filtration rate. The design and the data are as follows:
Run \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}
Treatment
Combination
Filtration
Rate
1 - - - - (1) 45
2 + - - + a d 100
3 - + - + b d 45
4 + + - - a b 65
5 - - + + c d 75
6 + - + - a c 60
7 - + + - b c 80
8 + + + + a b c d 96
(a) Write down the alias relationships.
(b) Estimate the factor effects. Which factor effects appear large?

Passo 1

O enunciado dá um experimento fatorial fracionário 2^{4-1} com quatro fatores: A =temperatura, B =pressão, C =concentração, D =taxa de agitação, sendo que D foi gerado como D = A B C (ou seja, o nível de D em cada corrida é o produto dos sinais de A , B e C ). A resposta é taxa de filtração (dados numéricos fornecidos para 8 corridas).
As perguntas são:
(a) Escrever as relações de alias (quem está confundido com quem).
(b) Estimar os efeitos dos fatores e indicar quais parecem grandes.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • A tabela fornece, para cada corrida, os níveis de A,B,C,D como sinais + ou - e a resposta (filtration rate).
  • O gerador do fracionamento é D = A B C , o que implica uma relação definidora.
A resolução numérica começará no Passo 2.

Passo 2

Breve teoria necessária (explicada de forma didática): o que é uma relação definidora e como obter aliases.
Quando fazemos um projeto 2^{4-1} com gerador D = A B C , a relação definidora é obtida multiplicando ambos os lados por D ou reorganizando:
I = A B C D
Aqui I é o “efeito identidade” (coluna de todos +1). A partir dessa relação podemos obter todas as igualdades de alias multiplicando por qualquer combinação de letras. Por exemplo, multiplicando a relação por A obtemos:
A = B C D.
Isto significa que o efeito estimado que chamamos de A está na verdade confundido com o efeito BCD — não conseguimos distingui-los apenas com este desenho.
Regra prática: a relação definidora I = A B C D gera todas as aliases por multiplicação por fatores. Vou listar explicitamente no próximo passo.

Passo 3

Escrever todas as relações de alias (mostrando como foram obtidas):
Começando de I = A B C D :
I = A B C D
Multiplicando ambos os lados por A :
A = B C D
Multiplicando por B :
B = A C D
Multiplicando por C :
C = A B D
Multiplicando por D :
D = A B C
Agora multiplicando por pares obtemos relações entre interações de dois fatores:
A B = C D
A C = B D
A D = B C
E multiplicando por triplas recuperamos os monômios simples já listados. Portanto as aliases essenciais são estas acima: cada efeito principal está aliás com a interação de três fatores correspondente, e cada interação de dois fatores está aliás com outra interação de dois fatores conforme listado.

Passo 4

Explicação prática sobre consequências: o que isso significa para estimativas.
  • O estimador numérico que obtemos “para A” na verdade combina o efeito verdadeiro de A e o de BCD . Se supusermos (hipótese comum) que interações de ordem 3 são desprezíveis, então o estimador aproxima o verdadeiro efeito principal.
  • Para interações de dois fatores, por exemplo AC e BD estão completamente aliás; o valor numérico que calcularmos para a coluna AC é indistinguível entre AC e BD .
Agora vamos ao cálculo numérico dos efeitos usando a definição prática de efeito em projeto 2-níveis.

Passo 5

Fórmula para estimar efeitos (passo-a-passo e por que):
Definição prática: o efeito de um fator (diferença entre médias em nível + e nível -) pode ser calculado usando níveis codificados +1 e -1. Se tivermos n corridas no fracionamento (aqui n=8), então o efeito estimado de um fator X é
\text{efeito}(X) = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i,
onde x_i\in\{+1,-1\} é o nível codificado do fator X na corrida i e y_i é a resposta observada nessa corrida.
Explicação: \sum x_i y_i = \sum_{X=+} y - \sum_{X=-} y. A diferença de médias é \dfrac{\sum_{X=+} y}{n/2} - \dfrac{\sum_{X=-} y}{n/2} = \dfrac{2}{n}(\sum_{X=+} y - \sum_{X=-} y)=\dfrac{2}{n}\sum x_i y_i. Com n=8 isso vira multiplicador 2/8=1/4. Portanto, numericamente:
\text{efeito}(X) = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{8} x_i y_i.

Passo 6

Construção da tabela de sinais e respostas (peguei os sinais e respostas da tabela do enunciado). Vou usar -1 para - e +1 para +. A tabela (cada linha é uma corrida) é:
Corrida 1: A=-1,\;B=-1,\;C=-1,\;D=-1,\;y=45
Corrida 2: A=+1,\;B=-1,\;C=-1,\;D=+1,\;y=100
Corrida 3: A=-1,\;B=+1,\;C=-1,\;D=+1,\;y=45
Corrida 4: A=+1,\;B=+1,\;C=-1,\;D=-1,\;y=65
Corrida 5: A=-1,\;B=-1,\;C=+1,\;D=+1,\;y=75
Corrida 6: A=+1,\;B=-1,\;C=+1,\;D=-1,\;y=60
Corrida 7: A=-1,\;B=+1,\;C=+1,\;D=-1,\;y=80
Corrida 8: A=+1,\;B=+1,\;C=+1,\;D=+1,\;y=96
Observação: eu peguei exatamente os dados da tabela fornecida no enunciado para montar essa tabela de sinais.

Passo 7

Cálculo explicitado do efeito de cada fator principal usando a fórmula \text{efeito}=\dfrac{1}{4}\sum x_i y_i.
Calculei \sum A y:
\sum A y = (-1)45 + (+1)100 + (-1)45 + (+1)65 + (-1)75 + (+1)60 + (-1)80 + (+1)96 = 76.
Logo
\text{efeito}(A) = \frac{1}{4}\cdot 76 = 19.
Calculei \sum B y:
\sum B y = (-1)45 + (-1)100 + (+1)45 + (+1)65 + (-1)75 + (-1)60 + (+1)80 + (+1)96 = 6.
Logo
\text{efeito}(B) = \frac{1}{4}\cdot 6 = 1{,}5.
Calculei \sum C y:
\sum C y = (-1)45 + (-1)100 + (-1)45 + (-1)65 + (+1)75 + (+1)60 + (+1)80 + (+1)96 = 56.
Logo
\text{efeito}\text{(C)} = \frac{1}{4}\cdot 56 = 14.
Calculei \sum D y:
\sum D y = (-1)45 + (+1)100 + (+1)45 + (-1)65 + (+1)75 + (-1)60 + (-1)80 + (+1)96 = 66.
Logo
\text{efeito}(D) = \frac{1}{4}\cdot 66 = 16{,}5.

Passo 8

(Complemento didático: cálculo de algumas interações de dois fatores para ver aliasing na prática.)
Para lembrar: as interações de dois fatores estão aliás entre si: AB = CD , AC = BD , AD = BC . Vou calcular as somas \sum (AB)\,y, etc., usando produto de sinais, e dividir por 4 para obter o efeito estimado (mesma fórmula).
Resultados rápidos (apenas somas mostradas resumidamente):
\sum (AB)\,y = -4 \Rightarrow \text{efeito}(AB) = -1.
\sum (AC)\,y = -74 \Rightarrow \text{efeito}(AC) = -18{,}5.
\sum (AD)\,y = 76 \Rightarrow \text{efeito}(AD) = 19.
\sum (BC)\,y = 76 \Rightarrow \text{efeito}(BC) = 19.
\sum (BD)\,y = -74 \Rightarrow \text{efeito}(BD) = -18{,}5.
\sum (CD)\,y = -4 \Rightarrow \text{efeito}(CD) = -1.
Observação: nota-se que \text{efeito}(AB)=\text{efeito}(CD)=-1, \text{efeito}(AC)=\text{efeito}(BD)=-18{,}5, \text{efeito}(AD)=\text{efeito}(BC)=19, exatamente conforme as relações de alias encontradas — isto valida os cálculos e mostra concretamente o confounding.

Passo 9

Interpretação final: quais efeitos parecem grandes e o que isso significa.
Efeitos principais estimados (resumo numérico):
\text{efeito}(A)=19,\qquad \text{efeito}(B)=1{,}5,\qquad \text{efeito}\text{(C)}=14,\qquad \text{efeito}(D)=16{,}5.
Em magnitude, os maiores são A (19), D (16{,}5) e C (14). B é pequeno (1{,}5).
Mas lembre: cada efeito principal está aliás com uma interação de terceira ordem segundo as relações do Passo 3 (por exemplo A = B C D ). Se aceitarmos a suposição usual de que interações de ordem três são desprezíveis, então podemos interpretar os grandes valores como efeitos principais verdadeiros: temperatura ( A ), taxa de agitação ( D ) e concentração ( C ) parecem importantes; pressão ( B parece pouco importante.
Se não aceitarmos que interações de ordem três sejam nulas, então o efeito observado em A poderia vir de BCD , etc., e não temos como separar sem planejamento adicional (corridas suplementares ou um projeto de resolução de alias).

Resposta

(a) I = A B C D
A = B C D,\qquad B = A C D,\qquad C = A B D,\qquad D = A B C
A B = C D,\qquad A C = B D,\qquad A D = B C
(b) \text{efeito}(A)=19
\text{efeito}(B)=1{,}5
\text{efeito}\text{(C)}=14
\text{efeito}(D)=16{,}5
Os efeitos aparentemente grandes (em magnitude) são A , D e C ; B é pequeno. (Lembrando que cada efeito está aliás com uma interação de ordem 3 conforme (a); se as 3‑vias forem desprezíveis, podemos atribuir esses valores aos efeitos principais.)

Exercícios relacionados