→ Montgomery (2012) described a
fractional factorial design used to study four factors in a chemical process. The factors are
temperature,
pressure,
concentration, and
stirring rate, and the response is filtration rate. The design and the data are as follows:
Run
Treatment
Combination
Filtration
Rate
1
-
-
-
-
45
2
+
-
-
+
100
3
-
+
-
+
45
4
+
+
-
-
65
5
-
-
+
+
75
6
+
-
+
-
60
7
-
+
+
-
80
8
+
+
+
+
96
(a) Write down the alias relationships.
(b) Estimate the factor effects. Which factor effects appear large?
| Run |
|
|
|
|
|
|
||||
| 1 | - | - | - | - |
|
45 | ||||
| 2 | + | - | - | + |
|
100 | ||||
| 3 | - | + | - | + |
|
45 | ||||
| 4 | + | + | - | - |
|
65 | ||||
| 5 | - | - | + | + |
|
75 | ||||
| 6 | + | - | + | - |
|
60 | ||||
| 7 | - | + | + | - |
|
80 | ||||
| 8 | + | + | + | + |
|
96 |
(b) Estimate the factor effects. Which factor effects appear large?
Passo 1
O enunciado dá um experimento fatorial fracionário
com quatro fatores:
A
=temperatura,
B
=pressão,
C
=concentração,
D
=taxa de agitação, sendo que
D
foi gerado como
D = A B C
(ou seja, o nível de
D
em cada corrida é o produto dos sinais de
A
,
B
e
C
). A resposta é taxa de filtração (dados numéricos fornecidos para 8 corridas).
As perguntas são:
(a) Escrever as relações de alias (quem está confundido com quem).
(b) Estimar os efeitos dos fatores e indicar quais parecem grandes.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- A tabela fornece, para cada corrida, os níveis de
A,B,C,D como sinais ou e a resposta (filtration rate). - O gerador do fracionamento é
D = A B C , o que implica uma relação definidora.
A resolução numérica começará no Passo 2.
Passo 2
Breve teoria necessária (explicada de forma didática): o que é uma relação definidora e como obter aliases.
Quando fazemos um projeto
com gerador
D = A B C
, a relação definidora é obtida multiplicando ambos os lados por
D
ou reorganizando:
Aqui
é o “efeito identidade” (coluna de todos +1). A partir dessa relação podemos obter todas as igualdades de alias multiplicando por qualquer combinação de letras. Por exemplo, multiplicando a relação por
A
obtemos:
Isto significa que o efeito estimado que chamamos de
A
está na verdade confundido com o efeito
BCD
— não conseguimos distingui-los apenas com este desenho.
Regra prática: a relação definidora
I = A B C D
gera todas as aliases por multiplicação por fatores. Vou listar explicitamente no próximo passo.
Passo 3
Escrever todas as relações de alias (mostrando como foram obtidas):
Começando de
I = A B C D
:
Multiplicando ambos os lados por
A
:
Multiplicando por
B
:
Multiplicando por
C
:
Multiplicando por
D
:
Agora multiplicando por pares obtemos relações entre interações de dois fatores:
E multiplicando por triplas recuperamos os monômios simples já listados. Portanto as aliases essenciais são estas acima: cada efeito principal está aliás com a interação de três fatores correspondente, e cada interação de dois fatores está aliás com outra interação de dois fatores conforme listado.
Passo 4
Explicação prática sobre consequências: o que isso significa para estimativas.
- O estimador numérico que obtemos “para A” na verdade combina o efeito verdadeiro de
A e o de BCD . Se supusermos (hipótese comum) que interações de ordem 3 são desprezíveis, então o estimador aproxima o verdadeiro efeito principal. - Para interações de dois fatores, por exemplo
AC e BD estão completamente aliás; o valor numérico que calcularmos para a coluna AC é indistinguível entre AC e BD .
Agora vamos ao cálculo numérico dos efeitos usando a definição prática de efeito em projeto
-níveis.
Passo 5
Fórmula para estimar efeitos (passo-a-passo e por que):
Definição prática: o efeito de um fator (diferença entre médias em nível
e nível
) pode ser calculado usando níveis codificados
e
. Se tivermos
corridas no fracionamento (aqui
), então o efeito estimado de um fator
é
onde
é o nível codificado do fator
na corrida
e
é a resposta observada nessa corrida.
Explicação:
. A diferença de médias é
. Com
isso vira multiplicador
. Portanto, numericamente:
Passo 6
Construção da tabela de sinais e respostas (peguei os sinais e respostas da tabela do enunciado). Vou usar
para
e
para
. A tabela (cada linha é uma corrida) é:
Corrida 1:
Corrida 2:
Corrida 3:
Corrida 4:
Corrida 5:
Corrida 6:
Corrida 7:
Corrida 8:
Observação: eu peguei exatamente os dados da tabela fornecida no enunciado para montar essa tabela de sinais.
Passo 7
Cálculo explicitado do efeito de cada fator principal usando a fórmula
.
Calculei
:
Logo
Calculei
:
Logo
Calculei
:
Logo
Calculei
:
Logo
Passo 8
(Complemento didático: cálculo de algumas interações de dois fatores para ver aliasing na prática.)
Para lembrar: as interações de dois fatores estão aliás entre si:
AB = CD
,
AC = BD
,
AD = BC
. Vou calcular as somas
, etc., usando produto de sinais, e dividir por 4 para obter o efeito estimado (mesma fórmula).
Resultados rápidos (apenas somas mostradas resumidamente):
Observação: nota-se que
,
,
, exatamente conforme as relações de alias encontradas — isto valida os cálculos e mostra concretamente o confounding.
Passo 9
Interpretação final: quais efeitos parecem grandes e o que isso significa.
Efeitos principais estimados (resumo numérico):
Em magnitude, os maiores são
A
(19),
D
(16{,}5) e
C
(14).
B
é pequeno (1{,}5).
Mas lembre: cada efeito principal está aliás com uma interação de terceira ordem segundo as relações do Passo 3 (por exemplo
A = B C D
). Se aceitarmos a suposição usual de que interações de ordem três são desprezíveis, então podemos interpretar os grandes valores como efeitos principais verdadeiros: temperatura (
A
), taxa de agitação (
D
) e concentração (
C
) parecem importantes; pressão (
B
parece pouco importante.
Se não aceitarmos que interações de ordem três sejam nulas, então o efeito observado em
A
poderia vir de
BCD
, etc., e não temos como separar sem planejamento adicional (corridas suplementares ou um projeto de resolução de alias).
Resposta
(a)
(b)
Os efeitos aparentemente grandes (em magnitude) são
A
,
D
e
C
;
B
é pequeno. (Lembrando que cada efeito está aliás com uma interação de ordem 3 conforme (a); se as 3‑vias forem desprezíveis, podemos atribuir esses valores aos efeitos principais.)