15.32 Considere um delineamento
com fatores
,
e
. Construa um delineamento começando com um
e use
como gerador. Mostre todos os aliases.
Passo 1
O enunciado pede para construir um delineamento
com fatores
,
,
,
e
, partindo de um
e usando
como gerador. A tarefa final é mostrar todos os aliases do delineamento (ou seja, indicar quais efeitos ficam indistinguíveis entre si dado o fração escolhida). Informações dadas:
\n
\n
- Fatores:
.
\n - Fração:
(metade de ), construída a partir de um com o gerador .
\n - O que se pede: listar todos os aliases (todas as igualdades entre efeitos impostas pela escolha do gerador).
Passo 2
Vamos traduzir o gerador para a relação de definição (defining relation). Quando dizemos
, multiplicando ambos os lados por
obtemos a palavra de definição (defining word):
Aqui
é a palavra identidade (efeito nulo). Essa equação é a base para gerar todas as aliases: qualquer efeito multiplicado por
é igual a si mesmo; mas como
, multiplicar um efeito por
dá o efeito com que ele fica aliasado.
Explicação didática curta: em fatoriais binários (
), multiplicar duas letras iguais cancela (
). Então se
(onde
é uma palavra de efeitos), então para qualquer efeito
temos
. Assim
está aliasado com
.
Passo 3
Regra prática para achar aliases:
\n
\n
- Tome qualquer efeito (main effect, interação de 2 fatores, etc.), escreva-o como produto de letras.
\n - Multiplique-o pela palavra definidora
.
\n - Reduza cancelando pares iguais (
, etc.). O resultado é o efeito com que o efeito inicial está aliasado.
\n
Vou exemplificar com um caso para fixar: calcular o alias de.
\n
Multiplicamospor a palavra definidora:
Logo
está aliasado com
. Note que
é uma interação de ordem 3; isso ilustra que dois-fatores ficam aliasados com três-fatores neste delineamento.
Passo 4
Primeiro calculemos os aliases dos efeitos principais (mains). Aplicando a regra:
\n
\n
- Para
:
Portanto
está aliasado com
.
\n
\n
- Para
:
\n
- Para
:
\n
- Para
:
\n
- Para
:
Então cada main está aliasado com a interação de ordem 4 formada pelos outros quatro fatores.
Passo 5
Agora calculemos sistematicamente os aliases das interações de dois fatores (cada uma será aliasada com uma interação de três fatores). Vou usar a mesma regra e mostrar os cálculos resumidos:
\n
\n
-
: já visto, .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n
Observação: cada produto foi reduzido cancelando letras aparecendo em par.
Passo 6
Podemos também listar os aliases das interações de três fatores (são simplesmente os pares inversos já encontrados no passo anterior). Exemplo:
\n
\n
-
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
Passo 7
Aliases das interações de quatro fatores (elas retornam para os main effects, já vistas no passo 4):
\n
\n
-
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
\n -
: .
Passo 8
Alias envolvendo a palavra identidade e a palavra definidora de ordem 5:
\n
\n
\n
Isto mostra que o delineamento tem resolução
(a menor palavra não-trivial na relação é de comprimento 5), então mains estão livres de confusão entre si e só se confundem com interações de ordem 4; interações de ordem 2 se confundem apenas com interações de ordem 3, etc.
Passo 9
Resumo didático e conclusão rápida: a maneira confiável de montar todas as aliases é gerar a relação
e, para cada efeito
, calcular
e reduzir. Isso dá um par de efeitos indistinguíveis no experimento fracionado. Agora vou apresentar a lista completa e organizada de todos os aliases (cada linha mostra uma igualdade de efeitos).