15.32 Considere um delineamento 2^{5-1} com fatores A, B, C, D e E. Construa um delineamento começando com um 2^{4} e use E=A B C D como gerador. Mostre todos os aliases.

Passo 1

O enunciado pede para construir um delineamento 2^{5-1} com fatores A, B, C, D e E, partindo de um 2^4 e usando E = ABCD como gerador. A tarefa final é mostrar todos os aliases do delineamento (ou seja, indicar quais efeitos ficam indistinguíveis entre si dado o fração escolhida). Informações dadas:
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  • Fatores: A, B, C, D, E.
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  • Fração: 2^{5-1} (metade de 2^5), construída a partir de um 2^4 com o gerador E = ABCD.
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  • O que se pede: listar todos os aliases (todas as igualdades entre efeitos impostas pela escolha do gerador).

Passo 2

Vamos traduzir o gerador para a relação de definição (defining relation). Quando dizemos E = ABCD, multiplicando ambos os lados por E obtemos a palavra de definição (defining word):
I = ABCDE
Aqui I é a palavra identidade (efeito nulo). Essa equação é a base para gerar todas as aliases: qualquer efeito multiplicado por I é igual a si mesmo; mas como I = ABCDE, multiplicar um efeito por ABCDE dá o efeito com que ele fica aliasado.
Explicação didática curta: em fatoriais binários ( ±1), multiplicar duas letras iguais cancela ( A\cdot A = I). Então se I = W (onde W é uma palavra de efeitos), então para qualquer efeito X temos X = X\cdot I = X\cdot W. Assim X está aliasado com XW.

Passo 3

Regra prática para achar aliases:
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  • Tome qualquer efeito (main effect, interação de 2 fatores, etc.), escreva-o como produto de letras.
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  • Multiplique-o pela palavra definidora ABCDE.
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  • Reduza cancelando pares iguais ( A\cdot A = I, etc.). O resultado é o efeito com que o efeito inicial está aliasado.
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    Vou exemplificar com um caso para fixar: calcular o alias de AB.
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    Multiplicamos AB por a palavra definidora:
AB \cdot ABCDE = (A\cdot A)(B\cdot B)CDE = I\cdot I \cdot CDE = CDE
Logo AB está aliasado com CDE. Note que CDE é uma interação de ordem 3; isso ilustra que dois-fatores ficam aliasados com três-fatores neste delineamento.

Passo 4

Primeiro calculemos os aliases dos efeitos principais (mains). Aplicando a regra:
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  • Para A: A \cdot ABCDE = (A\cdot A)BCDE = BCDE
Portanto A está aliasado com BCDE.
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  • Para B: B \cdot ABCDE = ACDE
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  • Para C: C \cdot ABCDE = ABDE
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  • Para D: D \cdot ABCDE = ABCE
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  • Para E: E \cdot ABCDE = ABCD
Então cada main está aliasado com a interação de ordem 4 formada pelos outros quatro fatores.

Passo 5

Agora calculemos sistematicamente os aliases das interações de dois fatores (cada uma será aliasada com uma interação de três fatores). Vou usar a mesma regra e mostrar os cálculos resumidos:
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  • AB: já visto, AB \cdot ABCDE = CDE.
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  • AC: AC \cdot ABCDE = BDE.
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  • AD: AD \cdot ABCDE = BCE.
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  • AE: AE \cdot ABCDE = BCD.
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  • BC: BC \cdot ABCDE = ADE.
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  • BD: BD \cdot ABCDE = ACE.
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  • BE: BE \cdot ABCDE = ACD.
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  • CD: CD \cdot ABCDE = ABE.
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  • CE: CE \cdot ABCDE = ABD.
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  • DE: DE \cdot ABCDE = ABC.
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    Observação: cada produto foi reduzido cancelando letras aparecendo em par.

Passo 6

Podemos também listar os aliases das interações de três fatores (são simplesmente os pares inversos já encontrados no passo anterior). Exemplo:
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  • ABC: ABC \cdot ABCDE = DE.
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  • ABD: ABD \cdot ABCDE = CE.
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  • ABE: ABE \cdot ABCDE = CD.
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  • ACD: ACD \cdot ABCDE = BE.
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  • ACE: ACE \cdot ABCDE = BD.
    \n
  • ADE: ADE \cdot ABCDE = BC.
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  • BCD: BCD \cdot ABCDE = AE.
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  • BCE: BCE \cdot ABCDE = AD.
    \n
  • BDE: BDE \cdot ABCDE = AC.
    \n
  • CDE: CDE \cdot ABCDE = AB.

Passo 7

Aliases das interações de quatro fatores (elas retornam para os main effects, já vistas no passo 4):
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  • ABCD: ABCD \cdot ABCDE = E.
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  • ABCE: ABCE \cdot ABCDE = D.
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  • ABDE: ABDE \cdot ABCDE = C.
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  • ACDE: ACDE \cdot ABCDE = B.
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  • BCDE: BCDE \cdot ABCDE = A.

Passo 8

Alias envolvendo a palavra identidade e a palavra definidora de ordem 5:
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  • I = ABCDE
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  • ABCDE = I
Isto mostra que o delineamento tem resolução V (a menor palavra não-trivial na relação é de comprimento 5), então mains estão livres de confusão entre si e só se confundem com interações de ordem 4; interações de ordem 2 se confundem apenas com interações de ordem 3, etc.

Passo 9

Resumo didático e conclusão rápida: a maneira confiável de montar todas as aliases é gerar a relação I = ABCDE e, para cada efeito X, calcular X \cdot ABCDE e reduzir. Isso dá um par de efeitos indistinguíveis no experimento fracionado. Agora vou apresentar a lista completa e organizada de todos os aliases (cada linha mostra uma igualdade de efeitos).

Resposta

I = ABCDE
A = BCDE
B = ACDE
C = ABDE
D = ABCE
E = ABCD
AB = CDE
AC = BDE
AD = BCE
AE = BCD
BC = ADE
BD = ACE
BE = ACD
CD = ABE
CE = ABD
DE = ABC
ABC = DE
ABD = CE
ABE = CD
ACD = BE
ACE = BD
ADE = BC
BCD = AE
BCE = AD
BDE = AC
CDE = AB
ABCD = E
ABCE = D
ABDE = C
ACDE = B
BCDE = A
ABCDE = I

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