15.21 Produtores de óleo estáo interessados em ligas de níquel de alta resistência que sejam fortes e resistentes à corrosāo. Um experimento é conduzido no qual as resistências são comparadas para a tensão de espécimes de ligas de níquel carregadas em uma solução de ácido sulfúrico saturada com bissulfeto de carbono. Duas ligas foram combinadas; uma com composição de
de níquel e outra com
de níquel em sua composição. As ligas foram testadas sob dois tempos de carga, 25 e 50 dias. Um fatorial
foi conduzido com os seguintes fatores:
% de ácido sulfúrico 4%, 6%: (
)
Tempo de carga, 25 dias, 50 dias:
Composição de níquel,
: (
)
Um espécime foi preparado para cada uma das oito condições. Já que os engenheiros não estavam certos sobre a natureza do modelo (ou seja, se os termos quadráticos seriam necessários ou náo), um terceiro nível (nível médio)
foi incorporado e quatro execuções centrais foram empregadas usando quatro espécimes em 5% de ácido sulfúrico, 37,5 dias e
de composição de níquel. A seguir temos as forças obtidas, em quilogramas por polegada quadrada.
Composição de níquel
Tempo de carga
25 dias
50 dias
Ácido sulfúrico
Ácido sulfúrico
4%
6%
4%
6%
75%
52,5
56,5
47,9
47,2
30%
50,2
50,8
47,4
41,7
As execuçóes centrais forneceram as seguintes forças:
(a) Faça um teste para determinar quais efeitos principais e interações deveriam estar envolvidos nesse modelo ajustado.
(b) Teste a curvatura quadrática.
(c) Se a curvatura quadrática for significante, quantos pontos de delineamento adicionais seráo necessários para determinar quais termos quadráticos devem ser incluídos no modelo?
% de ácido sulfúrico 4%, 6%: (
)
Tempo de carga, 25 dias, 50 dias:
Composição de níquel, : (
)
Tempo de carga, 25 dias, 50 dias:
Composição de níquel,
foi incorporado e quatro execuções centrais foram empregadas usando quatro espécimes em 5% de ácido sulfúrico, 37,5 dias e
| Composição de níquel | Tempo de carga | |||
| 25 dias | 50 dias | |||
| Ácido sulfúrico | Ácido sulfúrico | |||
| 4% | 6% | 4% | 6% | |
| 75% | 52,5 | 56,5 | 47,9 | 47,2 |
| 30% | 50,2 | 50,8 | 47,4 | 41,7 |
(b) Teste a curvatura quadrática.
(c) Se a curvatura quadrática for significante, quantos pontos de delineamento adicionais seráo necessários para determinar quais termos quadráticos devem ser incluídos no modelo?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar quais efeitos principais e interações devem ser incluídos no modelo ajustado (ou seja, testar a significância dos efeitos estimados a partir do fatorial
com quatro pontos centrais). - (b) Testar a curvatura quadrática (ver se há evidência de termos quadráticos).
- (c) Caso a curvatura seja significativa, informar quantos pontos adicionais de delineamento seriam necessários para identificar quais termos quadráticos incluir.
Informações dadas (dados experimentais):
- Fatorial
com fatores e níveis: -
: % ácido sulfúrico — baixo e alto . -
: tempo de carga — baixo dias e alto dias. -
: composição de níquel — baixo e alto .
-
- Valores medidos (força, em kg/pol
) nas 8 condições do fatorial (cada canto com um espécime): - Para
(75%): -
(25 dias): (4%) -
(25 dias): (6%) -
(50 dias): (4%) -
(50 dias): (6%)
-
- Para
(30%): -
, -
, -
, -
,
-
- Para
- Quatro execuções centrais (nível médio) com condições
e respostas: - Não há outras repetições nos cantos; portanto a variabilidade de erro será estimada a partir das quatro execuções centrais (pure error).
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Explicação do método e fórmulas que vamos usar (sem assumir conhecimento prévio):
- Para um fatorial
com codificação (baixo) e (alto), o estimador de cada efeito (principal, interação) é dado pela média dos contrastes: onde e os coeficientes são conforme o sinal do fator (por exemplo, para o efeito de , ). Para isso é . - A variância do estimador de efeito (assumindo variância comum
nas observações) é Assim, o erro padrão do efeito é Como não temos repetição nos cantos, vamos usar a variância estimada a partir das execuções centrais (pure error) para substituir . - Para testar um efeito usamos o teste
com estatística onde e é o MSE estimado pelas execuções centrais. O número de graus de liberdade para esse MSE será (aqui ). - Para testar curvatura (presença de termos quadráticos no modelo), usamos a diferença entre a média das execuções centrais e a média das execuções do fatorial. Seja
A hipótese nula de ausência de curvatura é . A variância da diferença é logo o -estável é com o MSE das execuções centrais e , . - Nível de significância usual:
. Para com graus de liberdade, o valor crítico bilateral é . Equivalente em : grande, crítico .
Passo 3
Cálculo da média e do MSE a partir das execuções centrais (estimador de
):
- Média dos centros:
- Soma dos quadrados do erro puro (centros) e MSE:
Passo 4
Cálculo dos efeitos usando contrastes (cada efeito =
). Vou calcular cada soma
e o efeito correspondente.
Listando os 8 cantos com codificação
e
:
Agora as somas contrastes e efeitos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para interações:
-
:
-
-
:
-
:
-
:
Resumo numérico dos efeitos (estimados):
Passo 5
Cálculo do erro padrão dos efeitos e dos
-valores para testar significância:
- O erro padrão de cada efeito é
- Estatísticas
(cada efeito dividido por ): - Regra de decisão: comparar com
. Efeitos com são estatisticamente significativos a .
Conclusão do teste dos efeitos (parte a):
- Significativos (
): , , , . - Não significativos:
, , .
Interpretação prática (curta e amigável):
- O tempo de carga
tem forte efeito negativo (aumentar de 25 para 50 dias reduz bastante a resistência). - A composição
(mais níquel) aumenta a resistência. - Existem interações importantes envolvendo
e : o efeito do ácido no resultado depende do tempo e da composição — ou seja, o efeito do ácido não é constante em todas as condições.
Passo 6
Teste de curvatura quadrática (parte b) — cálculos e decisão:
- Média dos 8 cantos (fatorial):
- Diferença (curvatura estimada):
- Variância do teste:
Logo o erro padrão é . - Estatística
: com graus de liberdade (do MSE). Comparando com , temos . - Equivalente em
: , com e graus de liberdade, muito maior que .
Conclusão da parte (b):
- Existe evidência estatística forte de curvatura quadrática (rejeitamos a hipótese de ausência de curvatura a
).
Passo 7
Resposta à parte (c): quantos pontos adicionais são necessários para identificar quais termos quadráticos incluir?
- Explicação didática: o teste de curvatura nos diz apenas que existe curvatura global (efeito quadrático agregado), mas não permite separar qual(is) fator(es) têm termos quadráticos (
). Para estimar separadamente os coeficientes quadráticos (um para cada fator) precisamos de níveis adicionais (mais que apenas os três níveis já presentes como efeito médio): a prática padrão é usar pontos axiais (star points) de um projeto central composto (CCD). Para fatores, um CCD típico acrescenta pontos axiais — isto é, dois pontos (± ) para cada fator, mantendo os outros fatores no centro. Esses pontos permitem estimar os termos quadráticos individualmente. - Portanto, para
fatores, precisamos adicionar pontos axiais (dois por fator) para poder estimar os três termos quadráticos separadamente e decidir quais incluímos no modelo.
Observação prática: com os 6 pontos axiais (mais os 8 cantos e os 4 centros já feitos), teríamos um delineamento rico o bastante (tipicamente um CCD) para ajustar um modelo quadrático completo (intercepto, 3 lineares, 3 interações de dois fatores, 3 quadráticos) com replicação suficiente para avaliar adequação e erro.
Resposta
(a) Efeitos significativos a 5%:
,
,
e
. Não significativos:
,
,
.\n
(b) Há curvatura quadrática significativa (teste ,
; equivalente
,
).\n
(c) Seriam necessários pontos adicionais (dois pontos axiais por fator, ou seja,
para
) para determinar quais termos quadráticos incluir.
(b) Há curvatura quadrática significativa (teste
(c) Seriam necessários