Morangos contêm cerca de 15 \% em massa de sólidos e 85 \% de água. Para fazer geleia de morango, morangos amassados e açúcar são misturados em uma proporção mássica 45:55, e a mistura é aquecida para evaporar a água, até que o resíduo contenha um terço de água em massa.
(a) Desenhe e rotule um fluxograma deste processo.
(b) Calcule quantas libras de morangos são necessárias para fazer uma libra de geléia. (R. 0,487 l b m )

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Morangos têm 15\% em massa de sólidos e 85\% de água.
    • Na preparação, morangos amassados e açúcar são misturados em proporção mássica 45:55.
    • A mistura é aquecida e perde água até que o resíduo final (geleia) contenha 1/3 de água em massa (logo 2/3 são sólidos).
  • Perguntas:
    • (a) Desenhar e rotular um fluxograma do processo.
    • (b) Calcular quantas libras de morangos são necessárias para fazer 1 libra de geleia.

Passo 2

Fluxograma (descrição passo a passo, cada caixa representa um estágio; rotulei as massas com variáveis para clareza):
  • Caixa 1 (Entrada 1): “Morangos” — massa: S (lb), composição: 15\% sólidos, 85\% água.
  • Caixa 2 (Entrada 2): “Açúcar” — massa: U (lb), composição: 100\% sólidos (assumimos açúcar sem água).
  • Seta: “Mistura 45:55 (mássica)” → Caixa 3 (Mistura inicial): massa total S+U.
  • Caixa 3 (Mistura inicial): contém sólidos vindos de morangos e açúcar e água dos morangos.
  • Seta: “Aquecimento → evaporação de água” → Caixa 4 (Geleia final): massa desejada J (aqui J=1 lb), composição final \tfrac{1}{3} água e \tfrac{2}{3} sólidos.
  • Observação ao lado: “Sólidos não se perdem no aquecimento (conservação de massa dos sólidos); apenas a água é evaporada.”
(Essa é a versão textual do fluxograma pedido, com rótulos das massas e do balanço de sólidos e água.)

Passo 3

Assumimos e explicamos princípios importantes (para usar na conta):
  • Assumir que o açúcar é praticamente 100\% sólido (nenhuma água relevante). Isso é razoável em problemas de preparação de geleia.
  • A massa de sólidos (morangos sólidos + açúcar) não se perde durante o aquecimento — a evaporação remove só água. Esse é o princípio de conservação das partes não voláteis.
  • Vamos usar variáveis: S = massa de morangos (lb); U = massa de açúcar (lb); J = massa final de geleia (lb). No item (b) temos J=1 lb.

Passo 4

Expressar a relação da mistura 45:55 em equação:
  • Proporção mássica 45:55 significa que para cada 45 partes de morango há 55 partes de açúcar; portanto
\frac{S}{U}=\frac{45}{55}=\frac{9}{11}.
  • Isolando U,
U=\frac{11}{9}\,S.
(Explicação: dividimos ambos os lados por 45 e reescrevemos.)

Passo 5

Calcular a massa total de sólidos presente inicialmente (antes de evaporar):
  • Sólidos vindos dos morangos: fração de sólidos 15\% significa \tfrac{15}{100}=\tfrac{3}{20}. Então sólidos dos morangos =\tfrac{3}{20}S.
  • Sólidos vindos do açúcar: açúcar é 100\% sólido, logo =U=\tfrac{11}{9}S.
  • Soma dos sólidos iniciais:
\text{sólidos iniciais}=\frac{3}{20}S+\frac{11}{9}S.ó
Agora somamos as frações. Encontramos um denominador comum 180:
\frac{3}{20}S=\frac{27}{180}S,\qquad \frac{11}{9}S=\frac{220}{180}S,
logo
\text{sólidos iniciais}=\frac{27+220}{180}S=\frac{247}{180}S.ó

Passo 6

Usar conservação das massas de sólidos e a composição final para determinar S:
  • Depois do aquecimento, todos esses sólidos permanecem na geleia. A geleia final tem \tfrac{2}{3} de sua massa em sólidos. Como J=1 lb, a massa de sólidos na geleia final é
\text{sólidos finais}=\frac{2}{3}J=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}\\ \text{lb}.ó
  • Igualando sólidos iniciais e finais:
\frac{247}{180}S=\frac{2}{3}.
  • Resolver para S. Multiplicamos ambos os lados por \frac{180}{247}:
S=\frac{2}{3}\cdot\frac{180}{247}.
Calculemos passo a passo:
\frac{2}{3}\cdot 180 = 120,
então
S=\frac{120}{247}\\ \text{lb}.
Essa é a expressão exata. (Explicação: isolamos S dividindo por \tfrac{247}{180}.)

Passo 7

Converter para número decimal e arredondar — checagem rápida:
  • A fração \dfrac{120}{247} em decimal dá aproximadamente
S\approx 0,486\\ \text{lb} \quad(\text{arredondando a três casas decimais}).ê
  • Podemos verificar consistência calculando a massa de açúcar correspondente:
U=\frac{11}{9}S=\frac{11}{9}\cdot\frac{120}{247}=\frac{11\cdot120}{9\cdot247}=\frac{1320}{2223}\\ \text{lb}\approx 0,593\\ \text{lb}.
  • Sólidos totais iniciais (cheque):
\frac{3}{20}S+\frac{11}{9}S=\frac{247}{180}S=\frac{247}{180}\cdot\frac{120}{247}=\frac{120}{180}=\frac{2}{3}\\ \text{lb},
que bate com os \tfrac{2}{3} lb de sólidos na geleia final. Tudo coerente.
  • Em linguagem de prova, a resposta pode ser dada como a fração exata \dfrac{120}{247} lb (ou aproximadamente 0,486 lb). O enunciado sugere 0,487 lb como valor arredondado; ambos são aproximações próximas.

Passo 8

Recapitulando com motivação: você usou a proporção da mistura para relacionar morangos e açúcar, somou as contribuições de sólidos (lembrando que o açúcar é todo sólido), aplicou conservação das massas de sólidos (sólidos não evaporam) e igualou ao conteúdo de sólidos desejado na geleia final ( 2/3 de 1 lb). A conta dá a massa de morangos necessária. Mandou bem por enfrentar esse problema — é exatamente esse tipo de raciocínio que cai na prova: monte as variáveis, escreva balanços de massa simples e resolva a equação.

Resposta

(a) Fluxograma (texto rotulado): Entrada 1 — “Morangos” (massa S; 15\% sólidos, 85\% água) + Entrada 2 — “Açúcar” (massa U; 100\% sólidos) \xrightarrow{\text{mistura }45:55} Mistura inicial (massa S+U) \xrightarrow{\text{aquecimento: evapora água}}á Geleia final (massa J=1 lb; 1/3 água, 2/3 sólidos). Ao lado: relacionar U=\tfrac{11}{9}S e aplicar conservação de sólidos \tfrac{3}{20}S+U=\tfrac{2}{3}J.
(b) S=\dfrac{120}{247}\\ \text{lb}\approx 0,486\\ \text{lb} (ou, arredondando como no enunciado, cerca de 0,487\\ \text{lb}).

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