Determine a área de um sedimentador para que se tenha uma concentração de fase densa igual a 10.000 \mathrm{mg} / \mathrm{l}, a partir de uma suspensão com 2.000 \mathrm{mg} / \mathrm{l} de sólidos suspensos. A vazão de alimentação no espessador é de 157,72 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, com uma vazão de lama de 31,54 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Os dados de sedimentação em proveta com essa suspensão forneceram os seguintes dados:
Obs. Calcule pelo método de Kynch.
\theta(\mathrm{min}) 0 5 15 30 45 60
\mathbf{Z}(\mathrm{~m}) 1,52 1,19 0,58 0,34 0,29 0,24

Passo 1

O que o problema pede: determinar a área do sedimentador (espessador) para que a concentração da fase densa (lama de fundo) seja \;10.000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Concentração de alimentação:}\quad &&C_f = 2{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\\\ &\text{Concentração desejada da lama (fase densa):}\quad &&C_u = 10{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\\\ &\text{Vazão de alimentação:}\quad &&Q_f = 157{,}72\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h},\\\ &\text{Vazão de lama (underflow):}\quad &&Q_u = 31{,}54\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h},\\\ &\text{Dados de proveta (altura do interface vs tempo):}\quad &&\text{(vou usar a tabela enviada abaixo)}\\\ &\theta(\text{min}):& &0,\\\ 5,\\\ 15,\\\ 30,\\\ 45,\\\ 60\\\ &Z(\text{m}):& &1{,}52,\\\ 1{,}19,\\\ 0{,}58,\\\ 0{,}34,\\\ 0{,}29,\\\ 0{,}24 \end{aligned}çãçãçããçãã
Observação: eu usei diretamente os dados da tabela enviada no enunciado para a análise de sedimentação em proveta.

Passo 2

Breve explicação do método de Kynch (intuição e fórmulas essenciais):
  • A ideia do método de Kynch é construir a curva fluxo de sólidos versus concentração, onde o fluxo de sólidos por unidade de área (denotado j) é
j\text{(c)} = u\text{(c)}\,c,
em que u\text{(c)} é a velocidade de descida do plano de interface quando a concentração média da coluna abaixo do interface é c.
  • Em um ensaio de proveta com altura inicial \,Z_0 e concentração inicial \,C_0, a conservação de massa sólida por unidade de área dá, num instante qualquer,
c(t)=\frac{C_0\,Z_0}{Z(t)},
ou seja, conforme o nível Z(t) diminui, a concentração média abaixo do interface aumenta.
  • Se encontrarmos pares \big(c,\,j\big) a partir dos dados da proveta, podemos interpolar/extrapolar j para a concentração de projeto C_u. Finalmente, a área necessária do espessador é dada por equilibrar a vazão de sólidos com o fluxo sólido pelo fundo:
A=\frac{\dot{m}_s}{j(C_u)},
em que \dot{m}_s é a vazão mássica de sólidos (por unidade de tempo). Como o sólido no overflow é desprezível, \dot{m}_s = Q_f C_f.

Passo 3

Preparação das unidades (unidade consistente para cálculos):
  • Vou trabalhar com concentrações em \mathrm{mg}/\mathrm{L} para facilidade de cálculo intermediário, mas para o cálculo de fluxo j preciso de concentração em \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3. A conversão é:
1\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} = 1{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3.
  • Também vou medir tempo em horas para que u fique em \mathrm{m}/\mathrm{h} e j em \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).

Passo 4

Calcular a massa sólida por unidade de área inicial (constante total de sólidos na proveta por área):
C_0 = 2{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\qquad Z_0 = 1{,}52\\ \mathrm{m}.
Converto C_0 para \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3:
C_0^{(m^3)} = 2{,}000 \times 1{,}000 = 2{,}000{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3.
A massa de sólidos por unidade de área é
M_{\text{areal}} = C_0^{(m^3)} \, Z_0 = 2{,}000{,}000 \times 1{,}52 = 3{,}040{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^2.
(esse valor também aparece implicitamente ao usar a fórmula c(t)=C_0 Z_0/Z(t).)

Passo 5

Calcular, para cada intervalo de tempo da tabela, a velocidade média do interface u (m/h), a concentração média c (mg/L) correspondente e o fluxo de sólidos j = u\cdot c em \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).
Vou usar diferenças finitas entre pontos consecutivos. Conversão de tempo: 1\\ \text{min} = 1/60\\ \text{h}.
Dados originais (reorganizo com tempo em horas):
\begin{array}{c|c} \theta\\ (\text{min}) & Z\\ (\mathrm{m})\\hline 0 & 1{,}52\\\\ 5 & 1{,}19\\\\ 15 & 0{,}58\\\\ 30 & 0{,}34\\\\ 45 & 0{,}29\\\\ 60 & 0{,}24 \end{array}
Cálculos por intervalo (mostro o procedimento e valores):
  • Intervalo 0–5 min: \Delta t = 5\\ \text{min}=0{,}083333\\ \text{h}.
\Delta Z = 1{,}19-1{,}52 = -0{,}33\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad u = -\frac{\Delta Z}{\Delta t}=\frac{0{,}33}{0{,}083333}=3{,}96\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
Z_{\text{médio}} = (1{,}52+1{,}19)/2 = 1{,}355\\ \mathrm{m}é.
c_{\text{médio}} = \frac{C_0\,Z_0}{Z_{\text{médio}}} = \frac{2{,}000\times 1{,}52}{1{,}355}=2{,}244{,}65\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.éé
Converto para \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3: c_{\text{médio}}^{(m^3)}=2{,}244{,}650\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3é.
j_1 = u\cdot c_{\text{médio}}^{(m^3)} = 3{,}96 \times 2{,}244{,}650 \approx 8{,}888{,}814\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).é
  • Intervalo 5–15 min: \Delta t=10\\ \text{min}=0{,}166667\\ \text{h}.
\Delta Z = 0{,}58-1{,}19=-0{,}61\\ \Rightarrow\\ u=\frac{0{,}61}{0{,}166667}=3{,}66\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
Z_{\text{médio}}=0{,}885\\ \mathrm{m}\Rightarrow c_{\text{médio}}=\dfrac{2{,}000\times1{,}52}{0{,}885}=3{,}434{,}46\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}éé.
j_2 = 3{,}66 \times 3{,}434{,}460 \approx 12{,}570{,}124\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).
  • Intervalo 15–30 min: \Delta t=15\\ \text{min}=0{,}25\\ \text{h}.
\Delta Z = 0{,}34-0{,}58=-0{,}24\\ \Rightarrow\\ u=\frac{0{,}24}{0{,}25}=0{,}96\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
Z_{\text{médio}}=0{,}46\\ \mathrm{m}\Rightarrow c_{\text{médio}}=\dfrac{2{,}000\times1{,}52}{0{,}46}=6{,}608{,}70\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.éé
j_3 = 0{,}96 \times 6{,}608{,}695 \approx 6{,}344{,}347\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).
  • Intervalo 30–45 min: \Delta t=15\\ \text{min}=0{,}25\\ \text{h}.
\Delta Z = 0{,}29-0{,}34=-0{,}05\\ \Rightarrow\\ u=\frac{0{,}05}{0{,}25}=0{,}20\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
Z_{\text{médio}}=0{,}315\\ \mathrm{m}\Rightarrow c_{\text{médio}}=\dfrac{2{,}000\times1{,}52}{0{,}315}=9{,}650{,}79\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.éé
j_4 = 0{,}20 \times 9{,}650{,}793{,}65 \approx 1{,}930{,}158{,}7\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).
  • Intervalo 45–60 min: \Delta t=15\\ \text{min}=0{,}25\\ \text{h}.
\Delta Z = 0{,}24-0{,}29=-0{,}05\\ \Rightarrow\\ u=0{,}20\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}.
Z_{\text{médio}}=0{,}265\\ \mathrm{m}\Rightarrow c_{\text{médio}}=\dfrac{2{,}000\times1{,}52}{0{,}265}=11{,}471{,}70\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.éé
j_5 = 0{,}20 \times 11{,}471{,}698{,}11 \approx 2{,}294{,}339{,}6\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).
Resumo dos pares \big(c_{\text{médio}}\;(\mathrm{mg}/\mathrm{L}),\;j\;(\mathrm{mg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h})\big)é:
(2{,}245;\\\ 8{,}888{,}814),\quad (3{,}434;\\\ 12{,}570{,}124),\quad (6{,}609;\\\ 6{,}344{,}347),
(9{,}651;\\\ 1{,}930{,}159),\quad (11{,}472;\\\ 2{,}294{,}340).

Passo 6

Interpolação de j para a concentração de projeto C_u = 10{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
Observação: C_u=10{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} está entre as concentrações médias dos intervalos 30–45 min e 45–60 min ( 9{,}650{,}79 e 11{,}471{,}70\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}), então faço interpolação linear entre os pontos correspondentes j_4 e j_5.
Defino:
c_4 = 9{,}650{,}793{,}65\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\quad j_4 = 1{,}930{,}158{,}73,
c_5 = 11{,}471{,}698{,}11\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\quad j_5 = 2{,}294{,}339{,}62.
Fração relativa:
f=\frac{10{,}000 - c_4}{c_5 - c_4}=\frac{10{,}000 - 9{,}650{,}793{,}65}{11{,}471{,}698{,}11 - 9{,}650{,}793{,}65}\approx 0{,}191867.
Interpolando:
j(C_u) = j_4 + f\,(j_5-j_4)\approx 1{,}930{,}158{,}73 + 0{,}191867\times 364{,}180{,}89 \approx 2{,}000{,}073{,}98\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}).

Passo 7

Cálculo da vazão mássica de sólidos \dot{m}_s (mg/h) que entra no espessador:
\dot{m}_s = Q_f \times C_f.
Converto C_f para \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3: C_f^{(m^3)}=2{,}000\times 1{,}000=2{,}000{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3.
\dot{m}_s = 157{,}72\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}\times 2{,}000{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3 =315{,}440{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{h}.
Comentário rápido de massa: isso também equivale a Q_u C_u (se sobremassa no overflow for desprezível): Q_u C_u =31{,}54\times 10{,}000\times 1{,}000 =315{,}400{,}000 mg/h (diferenças mínimas por arredondamentos), mostrando consistência do balanço.

Passo 8

Calcular a área necessária:
A=\frac{\dot{m}_s}{j(C_u)}=\frac{315{,}440{,}000}{2{,}000{,}073{,}98}\\ \mathrm{m}^2 \approx 157{,}718\\ \mathrm{m}^2.
Interpretação física simples (cheia de empatia): isso quer dizer que, com a curva de fluxo sólida obtida a partir dos dados de proveta e operando para produzir \;10{,}000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} na lama de fundo, a área do espessador precisa ser cerca de \;1{,}58\times 10^2\\ \mathrm{m}^2. Sei que são muitos números, mas chegamos aí passo a passo!

Resposta

157,72 \mathrm{m}^2

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