Determine a área de um sedimentador para que se tenha uma concentração de fase densa igual a
, a partir de uma suspensão com
de sólidos suspensos. A vazão de alimentação no espessador é de
, com uma vazão de lama de
. Os dados de sedimentação em proveta com essa suspensão forneceram os seguintes dados:
Obs. Calcule pelo método de Kynch.
0
5
15
30
45
60
1,52
1,19
0,58
0,34
0,29
0,24
Obs. Calcule pelo método de Kynch.
|
|
0 | 5 | 15 | 30 | 45 | 60 |
|
|
1,52 | 1,19 | 0,58 | 0,34 | 0,29 | 0,24 |
Passo 1
O que o problema pede: determinar a área do sedimentador (espessador) para que a concentração da fase densa (lama de fundo) seja
.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
Observação: eu usei diretamente os dados da tabela enviada no enunciado para a análise de sedimentação em proveta.
Passo 2
Breve explicação do método de Kynch (intuição e fórmulas essenciais):
- A ideia do método de Kynch é construir a curva fluxo de sólidos versus concentração, onde o fluxo de sólidos por unidade de área (denotado
) é
em que
é a velocidade de descida do plano de interface quando a concentração média da coluna abaixo do interface é
.
- Em um ensaio de proveta com altura inicial
e concentração inicial , a conservação de massa sólida por unidade de área dá, num instante qualquer,
ou seja, conforme o nível
diminui, a concentração média abaixo do interface aumenta.
- Se encontrarmos pares
a partir dos dados da proveta, podemos interpolar/extrapolar para a concentração de projeto . Finalmente, a área necessária do espessador é dada por equilibrar a vazão de sólidos com o fluxo sólido pelo fundo:
em que
é a vazão mássica de sólidos (por unidade de tempo). Como o sólido no overflow é desprezível,
.
Passo 3
Preparação das unidades (unidade consistente para cálculos):
- Vou trabalhar com concentrações em
para facilidade de cálculo intermediário, mas para o cálculo de fluxo preciso de concentração em . A conversão é:
- Também vou medir tempo em horas para que
fique em e em .
Passo 4
Calcular a massa sólida por unidade de área inicial (constante total de sólidos na proveta por área):
Converto
para
:
A massa de sólidos por unidade de área é
(esse valor também aparece implicitamente ao usar a fórmula
.)
Passo 5
Calcular, para cada intervalo de tempo da tabela, a velocidade média do interface
(m/h), a concentração média
(mg/L) correspondente e o fluxo de sólidos
em
.
Vou usar diferenças finitas entre pontos consecutivos. Conversão de tempo:
.
Dados originais (reorganizo com tempo em horas):
Cálculos por intervalo (mostro o procedimento e valores):
- Intervalo 0–5 min:
.
Converto para
:
.
- Intervalo 5–15 min:
.
- Intervalo 15–30 min:
.
- Intervalo 30–45 min:
.
- Intervalo 45–60 min:
.
Resumo dos pares
:
Passo 6
Interpolação de
para a concentração de projeto
.
Observação:
está entre as concentrações médias dos intervalos 30–45 min e 45–60 min (
e
), então faço interpolação linear entre os pontos correspondentes
e
.
Defino:
Fração relativa:
Interpolando:
Passo 7
Cálculo da vazão mássica de sólidos
(mg/h) que entra no espessador:
Converto
para
:
Comentário rápido de massa: isso também equivale a
(se sobremassa no overflow for desprezível):
mg/h (diferenças mínimas por arredondamentos), mostrando consistência do balanço.
Passo 8
Calcular a área necessária:
Interpretação física simples (cheia de empatia): isso quer dizer que, com a curva de fluxo sólida obtida a partir dos dados de proveta e operando para produzir
na lama de fundo, a área do espessador precisa ser cerca de
. Sei que são muitos números, mas chegamos aí passo a passo!
Resposta
157,72 \mathrm{m}^2