Uma indústria dispõe de um sedimentador contínuo ocioso que pode ser utilizado na sedimentação de uma suspensão aquosa de hidróxido de cálcio. O sedimentador tem
de área e 1 m de altura. Calcular a capacidade do sedimentador (alimentação e lama)
para as seguintes condições de operação:
a concentração de sólidos na alimentação e
a concentração de sólidos no lodo. A massa específica do sólido é
. O teste de proveta com esta suspensão nos leva aos seguintes resultados:
Obs. Calcule pelo método de Talmage e Fitch.
0
6
10
14
18
22
26
40,1
11,8
7,0
5,6
5,0
4,7
4,6
Obs. Calcule pelo método de Talmage e Fitch.
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0 | 6 | 10 | 14 | 18 | 22 | 26 |
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40,1 | 11,8 | 7,0 | 5,6 | 5,0 | 4,7 | 4,6 |
Passo 1
O enunciado pede calcular a capacidade do sedimentador (vazão de alimentação e vazão de lama/underflow) em
, usando o método de Talmage e Fitch, a partir dos dados do teste de proveta.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
- Área do sedimentador:
. - Altura (não é necessária para o cálculo da vazão, mas o enunciado dá 1 m):
. - Concentração de sólidos na alimentação:
. - Concentração de sólidos no lodo (lama, underflow):
. - Massa específica do sólido:
(vai servir só para interpretação, não é necessária nos passos principais). - Resultados do teste de proveta (tempo
em minutos, altura do leito em cm):
:
: (valores obtidos na proveta, como dado no enunciado).
Observação importante retirada do conjunto de dados: o valor inicial
é a altura inicial da suspensão na proveta; ao longo do tempo o leito compacto vai diminuindo de altura até valores finais próximos de
.
O objetivo prático do método de Talmage e Fitch é obter a maior taxa de fluxo de sólidos por unidade de área (fluxo de sólidos superficial máximo) a partir da curva , e daí calcular a vazão máxima de alimentação do sedimentador.
O objetivo prático do método de Talmage e Fitch é obter a maior taxa de fluxo de sólidos por unidade de área (fluxo de sólidos superficial máximo) a partir da curva
Passo 2
Idea central do método (explicação didática e sem pular etapas):
- No ensaio de proveta os sólidos iniciais, com concentração uniforme
(a mesma da alimentação), ocupam uma altura inicial . À medida que o leito se compacta, todo o sólido permanece na coluna, mas concentra-se em um leito de altura e concentração (maior que ). Assim, por conservação de massa sólida por unidade de área:
Dessa relação obtemos a concentração aparente do leito a cada instante:
- O fluxo de sólidos por unidade de área através da interface (o “fluxo superficial de sólidos”) naquele instante é dado por
Aqui a ideia física: a diminuição de
indica que mais sólidos estão se acomodando por unidade de tempo; multiplicando a taxa de variação de altura por
obtemos a massa de sólidos que “atravessa” por área e tempo — que é o fluxo de interesse quando dimensionamos um espessador contínuo. Note que
é negativo (Z decresce), assim
fica positivo.
- O método de Talmage e Fitch constrói a curva
em função de (ou em função de , usando a transformação acima) e toma o valor máximo de observado como o fluxo máximo sustentável de sólidos por unidade de área, . - Uma vez obtido
(unidade ), a vazão máxima de alimentação é calculada por balanço de sólidos:
- A vazão de lama (underflow)
é obtida pela conservação de sólidos entre alimentação e lama:
Nos próximos passos eu vou aplicar exatamente essas fórmulas com atenção às unidades e mostrar as contas detalhadas.
Passo 3
Converter unidades sempre primeiro (muito importante):
- Converter concentrações de
para . Como , temos:
- Converter alturas em centímetros para metros: dividir por
. A altura inicial é o no instante :
- Vou trabalhar com tempos em segundos para obter
em . Cada minuto tem .
Passo 4
Construir passo a passo os intervalos do teste, calcular a taxa média
, a concentração média do leito naquele intervalo e o fluxo de sólidos
correspondente. Vou usar cada intervalo entre medições consecutivas para obter um ponto aproximado
. Os dados convertidos (em metros) são:
Agora procedo intervalo a intervalo (vou mostrar a fórmula usada em cada passo e o valor numérico):
Intervalo
–
(0 a 6 min):
-
. -
. - Taxa média
- Altura média do leito no intervalo:
- Concentração média do leito (pela massa inicial):
- Fluxo de sólidos:
Intervalo
–
(6 a 10 min):
-
, . -
-
-
-
Intervalo
–
(10 a 14 min):
-
, . -
-
-
-
Intervalo
–
(14 a 18 min):
-
, . -
-
-
-
Intervalo
–
(18 a 22 min):
-
, . -
-
-
-
Intervalo
–
(22 a 26 min):
-
, . -
-
-
-
Observação didática: cada
foi obtido multiplicando a concentração média do leito naquele intervalo pela taxa média de variação de
(com sinal invertido). Esses pontos
formam a curva de fluxo de sólidos em função da concentração; o valor prático é o máximo dessa curva.
Passo 5
Determinar o fluxo máximo de sólidos por unidade de área (
):
Dos valores calculados nos intervalos, os obtidos foram (em
):
O maior valor é
Dos valores calculados nos intervalos, os
O maior valor é
Comentário amigo: esse pico ocorre no primeiro intervalo — é comum no início do ensaio quando partículas mais grossas se assentam rapidamente. Para dimensionamento conservador usa-se esse máximo observado pela metodologia Talmage & Fitch.
Passo 6
Calcular a vazão máxima de alimentação
utilizando o balanço de sólidos:
Substituindo os valores (tudo em unidades SI consistentes):
Primeiro o numerador:
Agora dividir por
:
Converter para
multiplicando por
:
Explicando de forma prática: esse é o volume por hora de suspensão que o sedimentador trata mantendo o fluxo de sólidos tocando o limite observado no ensaio.
Passo 7
Calcular a vazão de lama (underflow)
usando conservação de sólidos:
Substituindo
e
:
Interpretação: para cada hora de alimentação tratada, cerca de
saem como lama concentrada a
, o resto sai como clarificado (overflow).