Uma indústria dispõe de um sedimentador contínuo ocioso que pode ser utilizado na sedimentação de uma suspensão aquosa de hidróxido de cálcio. O sedimentador tem 26 \mathrm{~m}^{2} de área e 1 m de altura. Calcular a capacidade do sedimentador (alimentação e lama) \mathrm{em}^{3} / \mathrm{h} para as seguintes condições de operação: 50,6 \mathrm{~g} / \mathrm{l} a concentração de sólidos na alimentação e 420 \mathrm{~g} / \mathrm{l} a concentração de sólidos no lodo. A massa específica do sólido é 2,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. O teste de proveta com esta suspensão nos leva aos seguintes resultados:
Obs. Calcule pelo método de Talmage e Fitch.
\theta(\mathbf{m i n}) 0 6 10 14 18 22 26
\mathbf{Z}(\mathbf{c m}) 40,1 11,8 7,0 5,6 5,0 4,7 4,6

Passo 1

O enunciado pede calcular a capacidade do sedimentador (vazão de alimentação e vazão de lama/underflow) em \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, usando o método de Talmage e Fitch, a partir dos dados do teste de proveta.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
  • Área do sedimentador: A = 26\\ \mathrm{m}^2.
  • Altura (não é necessária para o cálculo da vazão, mas o enunciado dá 1 m): 1\\ \mathrm{m}.
  • Concentração de sólidos na alimentação: C_f = 50,6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Concentração de sólidos no lodo (lama, underflow): C_l = 420\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Massa específica do sólido: \rho_s = 2,2\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 (vai servir só para interpretação, não é necessária nos passos principais).
  • Resultados do teste de proveta (tempo \theta em minutos, altura do leito Z em cm):
    \theta: 0,\;6,\;10,\;14,\;18,\;22,\;26
    Z: 40,1,\;11,8,\;7,0,\;5,6,\;5,0,\;4,7,\;4,6 (valores obtidos na proveta, como dado no enunciado).
Observação importante retirada do conjunto de dados: o valor inicial Z(0)=40,1\\ \mathrm{cm} é a altura inicial da suspensão na proveta; ao longo do tempo o leito compacto vai diminuindo de altura até valores finais próximos de 4,6\\ \mathrm{cm}.
O objetivo prático do método de Talmage e Fitch é obter a maior taxa de fluxo de sólidos por unidade de área (fluxo de sólidos superficial máximo) a partir da curva Z(t), e daí calcular a vazão máxima de alimentação do sedimentador.

Passo 2

Idea central do método (explicação didática e sem pular etapas):
  • No ensaio de proveta os sólidos iniciais, com concentração uniforme C_0 (a mesma da alimentação), ocupam uma altura inicial H_0 = Z(0). À medida que o leito se compacta, todo o sólido permanece na coluna, mas concentra-se em um leito de altura Z(t) e concentração C(t) (maior que C_0). Assim, por conservação de massa sólida por unidade de área:
C(t)\, Z(t) = C_0\, H_0.
Dessa relação obtemos a concentração aparente do leito a cada instante:
C(t) = \frac{C_0\, H_0}{Z(t)}.
  • O fluxo de sólidos por unidade de área através da interface (o “fluxo superficial de sólidos”) naquele instante é dado por
j(t) \;=\; -\,C(t)\,\frac{dZ}{dt}.
Aqui a ideia física: a diminuição de Z indica que mais sólidos estão se acomodando por unidade de tempo; multiplicando a taxa de variação de altura por C(t) obtemos a massa de sólidos que “atravessa” por área e tempo — que é o fluxo de interesse quando dimensionamos um espessador contínuo. Note que dZ/dt é negativo (Z decresce), assim j(t) fica positivo.
  • O método de Talmage e Fitch constrói a curva j em função de C (ou em função de Z, usando a transformação acima) e toma o valor máximo de j observado como o fluxo máximo sustentável de sólidos por unidade de área, j_{\max}.
  • Uma vez obtido j_{\max} (unidade \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}), a vazão máxima de alimentação Q_f é calculada por balanço de sólidos:
Q_f\, C_f = j_{\max}\, A \quad\Longrightarrow\quad Q_f = \frac{j_{\max}\, A}{C_f}.
  • A vazão de lama (underflow) Q_u é obtida pela conservação de sólidos entre alimentação e lama:
Q_f\, C_f = Q_u\, C_l \quad\Longrightarrow\quad Q_u = Q_f\,\frac{C_f}{C_l}.
Nos próximos passos eu vou aplicar exatamente essas fórmulas com atenção às unidades e mostrar as contas detalhadas.

Passo 3

Converter unidades sempre primeiro (muito importante):
  • Converter concentrações de \mathrm{g}/\mathrm{L} para \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Como 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} = 1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, temos:
C_f = 50,6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} = 50,6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
C_l = 420\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} = 420\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Converter alturas em centímetros para metros: dividir por 100. A altura inicial H_0 é o Z no instante 0:
H_0 = Z(0) = 40,1\\ \mathrm{cm} = 0,401\\ \mathrm{m}.
  • Vou trabalhar com tempos em segundos para obter dZ/dt em \mathrm{m}/\mathrm{s}. Cada minuto tem 60\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Construir passo a passo os intervalos do teste, calcular a taxa média \dfrac{\Delta Z}{\Delta t}, a concentração média do leito naquele intervalo e o fluxo de sólidos j correspondente. Vou usar cada intervalo entre medições consecutivas para obter um ponto aproximado (C_{\text{médio}}, j)é. Os dados convertidos (em metros) são:
  • t_0 = 0\\ \mathrm{min},\\ Z_0 = 0,401\\ \mathrm{m}
  • t_1 = 6\\ \mathrm{min},\\ Z_1 = 0,118\\ \mathrm{m}
  • t_2 = 10\\ \mathrm{min},\\ Z_2 = 0,070\\ \mathrm{m}
  • t_3 = 14\\ \mathrm{min},\\ Z_3 = 0,056\\ \mathrm{m}
  • t_4 = 18\\ \mathrm{min},\\ Z_4 = 0,050\\ \mathrm{m}
  • t_5 = 22\\ \mathrm{min},\\ Z_5 = 0,047\\ \mathrm{m}
  • t_6 = 26\\ \mathrm{min},\\ Z_6 = 0,046\\ \mathrm{m}
Agora procedo intervalo a intervalo (vou mostrar a fórmula usada em cada passo e o valor numérico):
Intervalo t_0 t_1 (0 a 6 min):
  • \Delta t = 6\\ \mathrm{min} = 360\\ \mathrm{s}.
  • \Delta Z = Z_1 - Z_0 = 0,118 - 0,401 = -0,283\\ \mathrm{m}.
  • Taxa média \dfrac{dZ}{dt} \approx \dfrac{\Delta Z}{\Delta t} = -\,0,283 / 360 = -\,0,00078611\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Altura média do leito no intervalo: Z_{\text{m}} = (Z_0 + Z_1)/2 = 0,2595\\ \mathrm{m}.
  • Concentração média do leito (pela massa inicial): C_{\text{m}} = \frac{C_0\, H_0}{Z_{\text{m}}} = \frac{50,6\cdot 0,401}{0,2595} = 78,24\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Fluxo de sólidos: j = -\,C_{\text{m}}\,\frac{dZ}{dt} = 78,24\cdot 0,00078611 = 0,06155\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}.
Intervalo t_1 t_2 (6 a 10 min):
  • \Delta t = 240\\ \mathrm{s}, \Delta Z = 0,070 - 0,118 = -0,048\\ \mathrm{m}.
  • dZ/dt = -0,048/240 = -0,0002\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Z_{\text{m}} = 0,094\\ \mathrm{m}.
  • C_{\text{m}} = \dfrac{50,6\cdot 0,401}{0,094} = 216,41\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • j = 216,41\cdot 0,0002 = 0,04328\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}.
Intervalo t_2 t_3 (10 a 14 min):
  • \Delta t = 240\\ \mathrm{s}, \Delta Z = 0,056 - 0,070 = -0,014\\ \mathrm{m}.
  • dZ/dt = -0,014/240 = -5,8333\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Z_{\text{m}} = 0,063\\ \mathrm{m}.
  • C_{\text{m}} = \dfrac{50,6\cdot 0,401}{0,063} = 322,50\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • j = 322,50\cdot 5,8333\cdot 10^{-5} = 0,01882\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}.
Intervalo t_3 t_4 (14 a 18 min):
  • \Delta t = 240\\ \mathrm{s}, \Delta Z = 0,050 - 0,056 = -0,006\\ \mathrm{m}.
  • dZ/dt = -0,006/240 = -2,5\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Z_{\text{m}} = 0,053\\ \mathrm{m}.
  • C_{\text{m}} = \dfrac{50,6\cdot 0,401}{0,053} = 382,95\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • j = 382,95\cdot 2,5\cdot 10^{-5} = 0,00957\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}.
Intervalo t_4 t_5 (18 a 22 min):
  • \Delta t = 240\\ \mathrm{s}, \Delta Z = 0,047 - 0,050 = -0,003\\ \mathrm{m}.
  • dZ/dt = -0,003/240 = -1,25\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Z_{\text{m}} = 0,0485\\ \mathrm{m}.
  • C_{\text{m}} = \dfrac{50,6\cdot 0,401}{0,0485} = 418,78\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • j = 418,78\cdot 1,25\cdot 10^{-5} = 0,00523\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}.
Intervalo t_5 t_6 (22 a 26 min):
  • \Delta t = 240\\ \mathrm{s}, \Delta Z = 0,046 - 0,047 = -0,001\\ \mathrm{m}.
  • dZ/dt = -0,001/240 = -4,1667\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Z_{\text{m}} = 0,0465\\ \mathrm{m}.
  • C_{\text{m}} = \dfrac{50,6\cdot 0,401}{0,0465} = 436,59\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • j = 436,59\cdot 4,1667\cdot 10^{-6} = 0,00182\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}.
Observação didática: cada j foi obtido multiplicando a concentração média do leito naquele intervalo pela taxa média de variação de Z (com sinal invertido). Esses pontos (C_{\text{m}}, j) formam a curva de fluxo de sólidos em função da concentração; o valor prático é o máximo dessa curva.

Passo 5

Determinar o fluxo máximo de sólidos por unidade de área ( j_{\max}):
Dos valores calculados nos intervalos, os j obtidos foram (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}):
0,06155,\;0,04328,\;0,01882,\;0,00957,\;0,00523,\;0,00182.
O maior valor é
j_{\max} = 0,06155\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}.
Comentário amigo: esse pico ocorre no primeiro intervalo — é comum no início do ensaio quando partículas mais grossas se assentam rapidamente. Para dimensionamento conservador usa-se esse máximo observado pela metodologia Talmage & Fitch.

Passo 6

Calcular a vazão máxima de alimentação Q_f utilizando o balanço de sólidos:
Q_f = \frac{j_{\max}\, A}{C_f}.
Substituindo os valores (tudo em unidades SI consistentes):
j_{\max} = 0,06155\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s},\qquad A = 26\\ \mathrm{m}^2,\qquad C_f = 50,6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Primeiro o numerador:
j_{\max}\, A = 0,06155\cdot 26 = 1,6003\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Agora dividir por C_f:
Q_f = \frac{1,6003}{50,6} = 0,03164\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Converter para \mathrm{m}^3/\mathrm{h} multiplicando por 3600:
Q_f = 0,03164\cdot 3600 = 113,9\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
Explicando de forma prática: esse é o volume por hora de suspensão que o sedimentador trata mantendo o fluxo de sólidos tocando o limite observado no ensaio.

Passo 7

Calcular a vazão de lama (underflow) Q_u usando conservação de sólidos:
Q_u = Q_f\,\frac{C_f}{C_l}.
Substituindo C_f = 50,6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e C_l = 420\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3:
Q_u = 113,9\cdot \frac{50,6}{420} = 113,9\cdot 0,120476 = 13,72\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
Interpretação: para cada hora de alimentação tratada, cerca de 13,7\\ \mathrm{m}^3 saem como lama concentrada a 420\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}, o resto sai como clarificado (overflow).

Resposta

Q_{\text{alimentação}} = 113,9\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}çã
Q_{\text{lama}} = 13,72\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}

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