Os morcegos se orientam e localizam suas presas emitindo e detectando ondas ultrassônicas, que são ondas sonoras com frequências tão altas que não podem ser percebidas pelos ouvidos humanos. Suponha que um morcego emite ultrassons com uma frequência
enquanto esta voando a uma velocidade
em perseguição a uma mariposa que voa tentando escapar do morcego (todos na mesma direção) a uma velocidade
é a frequência detectada pela mariposa. Qual é a frequência
detectada pelo morcego ao receber o eco da mariposa? Considere
a velocidade de propagação do som no ar.
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um morcego que está voando em direção a uma mariposa, emitindo ultrassons com uma frequência $ f_{1,2} $. O morcego está se movendo a uma velocidade $ v_1 $ e a mariposa está tentando escapar, movendo-se na mesma direção a uma velocidade $ v_2 $. A mariposa detecta essa frequência como $ f_{2,d} $. Agora, queremos descobrir qual a frequência $ f_{1,a} $ que o morcego detecta quando recebe o eco do som refletido pela mariposa.
Para resolver isso, vamos usar o Efeito Doppler, que descreve como a frequência de uma onda muda quando há movimento relativo entre a fonte da onda e o observador. Vamos precisar entender as fórmulas do Efeito Doppler para fontes e observadores em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a frequência percebida pela mariposa $ f_{2,d} $ é calculada. Como o morcego (fonte do som) está se movendo em direção à mariposa (observador), a frequência percebida aumenta. A fórmula do Efeito Doppler para este caso é:
Aqui, $ v $ é a velocidade do som no ar, $ v_{observador} $ é a velocidade da mariposa ($ v_2 $), e $ v_{fonte} $ é a velocidade do morcego ($ v_1 $). Como o morcego está se dirigindo para a mariposa, consideramos $ v_{fonte} $ como positivo, e a mariposa está se afastando, então $ v_{observador} $ é também positivo.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a frequência que o morcego detecta ao receber o eco, $ f_{1,a} $. O eco é basicamente o som refletido pela mariposa. Para isso, a mariposa age como uma nova fonte que está se movendo. Então, aplicamos o Efeito Doppler novamente, desta vez com a mariposa como fonte e o morcego como observador.
A fórmula fica:
Aqui, $ v_{observador} $ agora é a velocidade do morcego ($ v_1 $), e $ v_{fonte} $ é a velocidade da mariposa ($ v_2 $). Note que no denominador temos um menos porque a mariposa está se afastando do morcego nesse momento.
Passo 4
Vamos substituir $ f_{2,d} $ da Passo 2 na equação da Passo 3:
Agora, simplificamos essa expressão:
Mas para uma aproximação mais simples, considerando que $ v_2 $ é muito menor comparado a $ v $, podemos ignorar o termo $ v_2^2 $, ficando:
Resposta
A frequência detectada pelo morcego ao receber o eco da mariposa é: