Um morro possui forma definida pelo gráfico de
f(x, y)=100-4 x^2-5 y^2
Se um alpinista está no ponto A(3,2,44), que direção ele deve tomar para subir pela parte mais íngreme do morro? Qual a taxa de variação da altura neste ponto e nesta direção?

Passo 1

Temos um morro descrito por f(x,y)=100-4x^2-5y^2 e o alpinista está em A(3,2,44). O conteúdo envolve gradiente e derivada direcional: a gente vai usar o gradiente para achar a direção de subida mais íngreme e depois calcular a taxa de variação nesse ponto.

Passo 2

O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais, ou seja, nabla f(x,y)=(partial f/partial x,partial f/partial y). No nosso caso temos
nabla f(x,y)=(-8x,-10y)
Avaliando em (3,2) obtemos o gradiente no ponto do alpinista: nabla f(3,2)=(-24,-20).

Passo 3

Para achar a direção de subida mais íngreme, normalizamos esse vetor. Primeiro a magnitude:
|nabla f(3,2)|=raiz(-24)^2+(-20)^2=raiz976=4raiz61
Então o vetor unitário nessa direção é
u=nabla f(3,2)|nabla f(3,2)|=l(-244raiz61,-204raiz61r)=l(-6raiz61,-5raiz61r)

Passo 4

A derivada direcional nessa direção é Duf=nabla f(3,2)cdotu. Como u é unitário e paralelo ao gradiente,
temos Duf=|nabla f(3,2)|=4raiz61.

Resposta

A direção de subida mais íngreme é o vetor unitário l(-tfrac6raiz61,-tfrac5raiz61r) e a taxa de variação máxima nesse ponto é 4raiz61.

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