Um morro possui forma definida pelo gráfico de
Se um alpinista está no ponto
, que direção ele deve tomar para subir pela parte mais íngreme do morro? Qual a taxa de variação da altura neste ponto e nesta direção?
Passo 1
Temos um morro descrito por
e o alpinista está em
. O conteúdo envolve gradiente e derivada direcional: a gente vai usar o gradiente para achar a direção de subida mais íngreme e depois calcular a taxa de variação nesse ponto.
Passo 2
O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais, ou seja,
. No nosso caso temos
Avaliando em
Passo 3
Para achar a direção de subida mais íngreme, normalizamos esse vetor. Primeiro a magnitude:
Então o vetor unitário nessa direção é
Passo 4
A derivada direcional nessa direção é
. Como
é unitário e paralelo ao gradiente,
temos .
temos
Resposta
A direção de subida mais íngreme é o vetor unitário
e a taxa de variação máxima nesse ponto é
.