Moste que as aproximações geradas pelos métodos Euler Melhorado e do Ponto Médio para o PVI
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
e pede para mostrar as aproximações geradas pelos métodos “Euler Melhorado” e “Ponto Médio”.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função do PVI é
. - A condição inicial é
. - Devemos usar um passo genérico
e as iterações em nós .
O objetivo é escrever explicitamente as fórmulas de iteração (aproximações) que cada método produz e comparar (mostrar) o que ocorre.
Passo 2
Apresento o método “Euler Melhorado” (também chamado método de Heun / trapezoidal explícito) de forma didática. Seja
o passo e
,
os valores no n-ésimo nó. Definimos:
o preditor
e então o corretor (valor final no próximo nó)
Explicação do que são essas quantidades:
-
é a inclinação em . -
é uma previsão do valor em usando Euler explícito simples. - A fórmula do corretor faz uma média das inclinações em
e em (avaliada na previsão ) e usa essa média para avançar.
Passo 3
Apliquemos o Euler Melhorado ao nosso
. Primeiro calculemos
:
O preditor é
Passo 4
Agora precisamos de
. Lembrando que
,
Simplificando termo a termo:
Passo 5
Voltemos à fórmula do corretor do Euler Melhorado:
Substituindo
e
obtidos:
Distribuindo o
e simplificando o termo constante:
Observação:
. Assim podemos escrever
que é a forma final da iteração pelo Euler Melhorado aplicada a este PVI.
Passo 6
Agora apresento o método do Ponto Médio (RK2, explícito) e explico. Para passo
definimos:
o valor intermediário (no “meio” do passo)
avaliamos a inclinação no meio
e então avançamos com
Explicação: o método usa a inclinação estimada no ponto médio do intervalo
para fazer o avanço — isto dá precisão de ordem 2.
Passo 7
Apliquemos o Ponto Médio ao nosso
. Já temos
O valor no meio é
Agora calculemos
:
Substituindo
e simplificando termo a termo:
Passo 8
Finalmente a iteração do Ponto Médio é
Note que esta expressão é exatamente a mesma que obtivemos para o Euler Melhorado no Passo 5.
Passo 9
Conclusão explícita: para o PVI dado, tanto o Euler Melhorado quanto o método do Ponto Médio produzem a mesma fórmula de iteração por passo
, portanto as aproximações geradas pelos dois métodos coincidem nó a nó. A recorrência de iteração comum é:
Resposta
As aproximações dos dois métodos coincidem e são dadas pela recorrência