Moste que as aproximações geradas pelos métodos Euler Melhorado e do Ponto Médio para o PVI
y^{\prime}=-y+t+1, \quad y(0)=1, \quad 0 \leq t \leq 1,

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'(t) = -y + t + 1,\qquad y(0)=1,\qquad 0\le t\le 1,
e pede para mostrar as aproximações geradas pelos métodos “Euler Melhorado” e “Ponto Médio”.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função do PVI é f(t,y) = -y + t + 1.
  • A condição inicial é y(0)=1.
  • Devemos usar um passo genérico h e as iterações em nós t_n = n h.
    O objetivo é escrever explicitamente as fórmulas de iteração (aproximações) que cada método produz e comparar (mostrar) o que ocorre.

Passo 2

Apresento o método “Euler Melhorado” (também chamado método de Heun / trapezoidal explícito) de forma didática. Seja h o passo e t_n, y_n os valores no n-ésimo nó. Definimos:
k_1 = f(t_n,y_n),
o preditor
y^{*} = y_n + h k_1,
e então o corretor (valor final no próximo nó)
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\big( k_1 + f(t_{n+1},y^{*})\big).
Explicação do que são essas quantidades:
  • k_1 é a inclinação em t_n.
  • y^{*} é uma previsão do valor em t_{n+1} usando Euler explícito simples.
  • A fórmula do corretor faz uma média das inclinações em t_n e em t_{n+1} (avaliada na previsão y^{*}) e usa essa média para avançar.

Passo 3

Apliquemos o Euler Melhorado ao nosso f(t,y)=-y+t+1. Primeiro calculemos k_1:
k_1 = f(t_n,y_n) = -y_n + t_n + 1.
O preditor é
y^{*} = y_n + h(-y_n + t_n + 1) = y_n(1-h) + h(t_n+1).

Passo 4

Agora precisamos de f(t_{n+1},y^{*}). Lembrando que t_{n+1}=t_n+h,
\begin{aligned} f(t_{n+1},y^{*}) &= -y^{*} + t_{n+1} + 1 \\\ &= -\big[y_n(1-h) + h(t_n+1)\big] + (t_n+h) + 1. \end{aligned}
Simplificando termo a termo:
\begin{aligned} f(t_{n+1},y^{*}) &= -y_n(1-h) - h t_n - h + t_n + h + 1 \\\ &= -y_n(1-h) + t_n(1-h) + 1 \\\ &= (1-h)\big(-y_n + t_n\big) + 1. \end{aligned}

Passo 5

Voltemos à fórmula do corretor do Euler Melhorado:
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\big(k_1 + f(t_{n+1},y^{*})\big).
Substituindo k_1 e f(t_{n+1},y^{*}) obtidos:
\begin{aligned} y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{2}\Big( (-y_n + t_n + 1) + \big((1-h)(-y_n + t_n) + 1\big)\Big) \\\ &= y_n + \frac{h}{2}\Big( (2-h)(-y_n + t_n) + 2\Big). \end{aligned}
Distribuindo o \tfrac{h}{2} e simplificando o termo constante:
y_{n+1} = y_n + \frac{h(2-h)}{2}\big(-y_n + t_n\big) + h.
Observação: \dfrac{h(2-h)}{2} = h\Big(1-\dfrac{h}{2}\Big). Assim podemos escrever
\boxed{\,y_{n+1} = y_n + h\Big(1-\frac{h}{2}\Big)\big(-y_n + t_n\big) + h\,}
que é a forma final da iteração pelo Euler Melhorado aplicada a este PVI.

Passo 6

Agora apresento o método do Ponto Médio (RK2, explícito) e explico. Para passo h definimos:
k_1 = f(t_n,y_n),
o valor intermediário (no “meio” do passo)
y_{n+\tfrac{1}{2}} = y_n + \frac{h}{2}k_1,
avaliamos a inclinação no meio
k_2 = f\big(t_n+\tfrac{h}{2},\,y_{n+\tfrac{1}{2}}\big),
e então avançamos com
y_{n+1} = y_n + h k_2.
Explicação: o método usa a inclinação estimada no ponto médio do intervalo [t_n,t_{n+1}] para fazer o avanço — isto dá precisão de ordem 2.

Passo 7

Apliquemos o Ponto Médio ao nosso f(t,y)=-y+t+1. Já temos
k_1 = -y_n + t_n + 1.
O valor no meio é
y_{n+\tfrac{1}{2}} = y_n + \frac{h}{2}(-y_n + t_n + 1) = y_n\Big(1-\frac{h}{2}\Big) + \frac{h}{2}(t_n+1).
Agora calculemos k_2:
\begin{aligned} k_2 &= f\big(t_n+\tfrac{h}{2},\,y_{n+\tfrac{1}{2}}\big) \\\ &= -y_{n+\tfrac{1}{2}} + \big(t_n+\tfrac{h}{2}\big) + 1. \end{aligned}
Substituindo y_{n+\tfrac{1}{2}} e simplificando termo a termo:
\begin{aligned} k_2 &= -\Big[y_n\Big(1-\frac{h}{2}\Big) + \frac{h}{2}(t_n+1)\Big] + t_n + \frac{h}{2} + 1 \\\ &= -y_n\Big(1-\frac{h}{2}\Big) + t_n\Big(1-\frac{h}{2}\Big) + 1 \\\ &= \Big(1-\frac{h}{2}\Big)\big(-y_n + t_n\big) + 1. \end{aligned}

Passo 8

Finalmente a iteração do Ponto Médio é
y_{n+1} = y_n + h k_2 = y_n + h\Big(1-\frac{h}{2}\Big)\big(-y_n + t_n\big) + h.
Note que esta expressão é exatamente a mesma que obtivemos para o Euler Melhorado no Passo 5.

Passo 9

Conclusão explícita: para o PVI dado, tanto o Euler Melhorado quanto o método do Ponto Médio produzem a mesma fórmula de iteração por passo h, portanto as aproximações geradas pelos dois métodos coincidem nó a nó. A recorrência de iteração comum é:
\boxed{\,y_{n+1} = y_n + h\Big(1-\frac{h}{2}\Big)\big(-y_n + t_n\big) + h\,.}

Resposta

As aproximações dos dois métodos coincidem e são dadas pela recorrência
y_{n+1} = y_n + h\Big(1-\frac{h}{2}\Big)\big(-y_n + t_n\big) + h.

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