Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
(ou seja, encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade para
em que tudo faz sentido).\n
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: \n
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: \n
- A incógnita é
função de .\n - A derivada aparece como
.\n - A equação pode ser escrita apenas com
, e .\n
Não vou resolver nada ainda aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Primeiro passo para resolver: simplificar a equação escrita. Reescrevo o lado direito fatorando
:
Substituindo na equação original obtenho
Agora isolo
dividindo ambos os lados por
(que é sempre positivo, então divisão é válida):
Passo 3
Observe que a equação está no formato em que podemos separar variáveis: todas as ocorrências de
estão multiplicando o lado direito e o restante depende só de
. A ideia de separação de variáveis é colocar todos os termos com
(e
) em um lado e todos os termos com
(e
) no outro, para poder integrar cada lado. Faço:
Agora integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
No lado esquerdo temos uma integral imediata; o lado direito precisa de uma manipulação para integrar.
Passo 4
Vou resolver a integral do lado direito. Faço a substituição
. Então
, logo
. A expressão da integranda torna-se
Agora uso frações parciais para integrar
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes: constante
e coeficiente de
satisfaz
então
dando
. Portanto
Passo 5
Integro cada termo em
:
onde
é uma constante de integração. Lembro que
, então posso tirar os módulos e escrever
sem problema. Voltando à variável
,
E
, então o lado direito fica
Passo 6
Agora integro o lado esquerdo que já era simples:
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só constante
) obtemos
onde
é uma constante arbitrária real (resultado da diferença
).
Passo 7
Exponentio ambos os lados para resolver para
:
Usando
e definindo
(constante positiva), obtemos
Removendo o valor absoluto e permitindo que a constante absorva o sinal (ou seja, deixando a constante arbitrária
real, que pode ser zero ou negativa), a solução geral pode ser escrita como
onde
é constante arbitrária. Note que
dá a solução trivial
, que também satisfaz a equação original.