\left(e^{x}+1\right) \frac{d y}{d x}=y-y e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(e^{x}+1\right)\frac{dy}{dx}=y-y e^{x}
e pede a solução geral y(x) (ou seja, encontrar todas as funções y que satisfazem essa igualdade para x em que tudo faz sentido).\n
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: \n
  • A incógnita é y função de x.\n
  • A derivada aparece como \frac{dy}{dx}.\n
  • A equação pode ser escrita apenas com y, x e e^{x}.\n
    Não vou resolver nada ainda aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Primeiro passo para resolver: simplificar a equação escrita. Reescrevo o lado direito fatorando y:
y-y e^{x}=y(1-e^{x}).
Substituindo na equação original obtenho
\left(e^{x}+1\right)\frac{dy}{dx}=y(1-e^{x}).
Agora isolo \frac{dy}{dx} dividindo ambos os lados por e^{x}+1 (que é sempre positivo, então divisão é válida):
\frac{dy}{dx}=y\cdot\frac{1-e^{x}}{e^{x}+1}.

Passo 3

Observe que a equação está no formato em que podemos separar variáveis: todas as ocorrências de y estão multiplicando o lado direito e o restante depende só de x. A ideia de separação de variáveis é colocar todos os termos com y (e dy) em um lado e todos os termos com x (e dx) no outro, para poder integrar cada lado. Faço:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1-e^{x}}{e^{x}+1}\,dx.
Agora integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1-e^{x}}{e^{x}+1}\,dx.
No lado esquerdo temos uma integral imediata; o lado direito precisa de uma manipulação para integrar.

Passo 4

Vou resolver a integral do lado direito. Faço a substituição t=e^{x}. Então dt=e^{x}\,dx=t\,dx, logo dx=\frac{dt}{t}. A expressão da integranda torna-se
\frac{1-e^{x}}{e^{x}+1}\,dx=\frac{1-t}{1+t}\cdot\frac{dt}{t}=\frac{1-t}{t(1+t)}\,dt.
Agora uso frações parciais para integrar
\frac{1-t}{t(1+t)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{1+t}.
Multiplicando por t(1+t) obtemos
1-t=A(1+t)+Bt=A+ (A+B)t.
Comparando coeficientes: constante A=1 e coeficiente de t satisfaz A+B=-1 então 1+B=-1 dando B=-2. Portanto
\frac{1-t}{t(1+t)}=\frac{1}{t}-\frac{2}{1+t}.

Passo 5

Integro cada termo em t:
\int\left(\frac{1}{t}-\frac{2}{1+t}\right)dt=\int\frac{1}{t}\,dt-2\int\frac{1}{1+t}\,dt=\ln|t|-2\ln|1+t|+C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Lembro que t=e^{x}>0, então posso tirar os módulos e escrever \ln t sem problema. Voltando à variável x,
\int\frac{1-e^{x}}{e^{x}+1}\,dx=\ln(e^{x})-2\ln(1+e^{x})+C_1.
E \ln(e^{x})=x, então o lado direito fica
x-2\ln(1+e^{x})+C_1.

Passo 6

Agora integro o lado esquerdo que já era simples:
\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C_2.
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só constante C) obtemos
\ln|y|=x-2\ln(1+e^{x})+C,
onde C é uma constante arbitrária real (resultado da diferença C_1-C_2).

Passo 7

Exponentio ambos os lados para resolver para y:
|y|=e^{x-2\ln(1+e^{x})+C}=e^{C}\cdot e^{x}\cdot e^{-2\ln(1+e^{x})}.
Usando e^{-2\ln(1+e^{x})}=(1+e^{x})^{-2} e definindo K=e^{C} (constante positiva), obtemos
|y|=K\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.
Removendo o valor absoluto e permitindo que a constante absorva o sinal (ou seja, deixando a constante arbitrária C real, que pode ser zero ou negativa), a solução geral pode ser escrita como
y(x)=C\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}},
onde C\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Note que C=0 dá a solução trivial y\equiv 0, que também satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=C\displaystyle\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}},\\ C\in\mathbb{R}

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