Utilize os métodos de Euler Melhorado e do Ponto Médio para resolver o PVI:
com
e
. A solução exata é
. Qual método foi melhor?
Passo 1
O enunciado pede: aplicar os métodos de Euler Melhorado e do Ponto Médio para aproximar a solução do PVI
com passo
no intervalo
. A solução exata dada é
Dados relevantes fornecidos:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Passo:
. - Intervalo:
(11 pontos). - Solução exata:
.
Passo 2
Pequena observação útil (que facilita as contas): se definirmos
, então
Logo
com
. A solução exata fica
e
(isto confirma a solução exata dada). Vou aproveitar essa mudança de variável para aplicar os métodos ao PVI equivalente para
,
porque integrar
numericamente é direto e os passos das fórmulas ficam simples; ao final recupero
. Isso é válido porque a transformação
é bijetora e suave, então aproximar
e voltar para
fornece aproximações para a solução original.
Passo 3
Apresentação dos métodos (aplicados à equação
) e fórmulas usadas.
- Euler Melhorado (Heun / regra do trapézio explícita aplicada ao RHS): para
e ,
Isto é exatamente a regra trapezoidal para
.
- Método do Ponto Médio (método explícito do ponto médio): para
e ,
Isto é a regra do ponto médio para
.
Depois de obter
aplicamos
Passo 4
Vou calcular os valores de
nos nós
(valores padrão conhecidos):
Também é útil o fator para os pontos médios
com
. Para computar as atualizações uso aritmética aproximada com precisão suficiente para comparação de erros.
Passo 5
Iterações do método de Euler Melhorado (trapezoidal) sobre
.
Fórmula usada: .
Partindo de , obtemos (apenas 6–9 dígitos mostrados):
Fórmula usada:
Partindo de
(Os intermediários
foram calculados com a mesma fórmula; mostrei os valores arredondados consistentes com os incrementos.)
Convertendo para
obtemos os
aproximados pelo Euler Melhorado; em particular no final:
Passo 6
Iterações do método do Ponto Médio sobre
.
Fórmula usada: .
Partindo de , obtemos (valores arredondados mostrados):
Fórmula usada:
Partindo de
Convertendo para
obtemos os
aproximados pelo Ponto Médio; em particular no final:
Passo 7
Cálculo do erro comparativo em
.
A solução exata em é
A solução exata em
Erros finais aproximados:
Ou, olhando em termos de
,
Em módulo, o erro no Ponto Médio é menor (aproximadamente metade do erro do Euler Melhorado neste caso com
).]
Passo 8
Interpretação final e comentário didático rápido: ambos os métodos são de ordem 2 (erro global
), então com
esperávamos erros da ordem
a
. Aqui, ao linearizar com
e aplicar as fórmulas diretas para integrar
, obtivemos aproximações sólidas. O Ponto Médio apresentou erro final menor para este problema e passo, por isso o consideramos melhor neste teste numérico.
Resposta
Valores em
: Euler Melhorado
; Ponto Médio
.
Método melhor: Ponto Médio (erro absoluto menor do que o do Euler Melhorado
).
Método melhor: Ponto Médio (erro absoluto