Utilize os métodos de Euler Melhorado e do Ponto Médio para resolver o PVI:
y^{\prime}=e^{t-y}, \quad y(0)=1,
com h=0.1 e 0 \leq t \leq 1. A solução exata é y(t)=\ln \left(e^{t}+e-1\right). Qual método foi melhor?

Passo 1

O enunciado pede: aplicar os métodos de Euler Melhorado e do Ponto Médio para aproximar a solução do PVI
y' = e^{t-y},\qquad y(0)=1,
com passo h=0{,}1 no intervalo 0\le t\le1. A solução exata dada é
y(t)=\ln\bigl(e^{t}+e-1\bigr).
Dados relevantes fornecidos:
  • Equação diferencial: y' = e^{t-y}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Passo: h=0{,}1.
  • Intervalo: t=0,0{,}1,\dots,1{,}0 (11 pontos).
  • Solução exata: y(t)=\ln\bigl(e^{t}+e-1\bigr).

Passo 2

Pequena observação útil (que facilita as contas): se definirmos z(t)=e^{y(t)}, então
z'(t)=y'(t)e^{y(t)}=e^{t-y}e^{y}=e^{t}.
Logo z'(t)=e^{t} com z(0)=e^{y(0)}=e. A solução exata fica z(t)=e^{t}+e-1 e y(t)=\ln z(t) (isto confirma a solução exata dada). Vou aproveitar essa mudança de variável para aplicar os métodos ao PVI equivalente para z,
z'=e^{t},\qquad z(0)=e,
porque integrar e^{t} numericamente é direto e os passos das fórmulas ficam simples; ao final recupero y_n=\ln z_n. Isso é válido porque a transformação z=e^{y} é bijetora e suave, então aproximar z e voltar para y fornece aproximações para a solução original.

Passo 3

Apresentação dos métodos (aplicados à equação z'=e^{t}) e fórmulas usadas.
  • Euler Melhorado (Heun / regra do trapézio explícita aplicada ao RHS): para t_n e z_n,
z_{n+1}=z_n+\frac{h}{2}\bigl(e^{t_n}+e^{t_{n+1}}\bigr).
Isto é exatamente a regra trapezoidal para \int_{t_n}^{t_{n+1}} e^{t}\,dt.
  • Método do Ponto Médio (método explícito do ponto médio): para t_n e z_n,
z_{n+1}=z_n+h\,e^{t_n+\frac{h}{2}}.
Isto é a regra do ponto médio para \int_{t_n}^{t_{n+1}} e^{t}\,dt.
Depois de obter z_n aplicamos
y_n=\ln(z_n).

Passo 4

Vou calcular os valores de e^{t} nos nós t_n=0,0{,}1,\dots,1 (valores padrão conhecidos):
\begin{array}{l} e^{0}=1{,}000000000,\\\ e^{0{,}1}=1{,}105170918,\\\ e^{0{,}2}=1{,}221402758,\\\ e^{0{,}3}=1{,}349858808,\\\ e^{0{,}4}=1{,}491824698,\\\ e^{0{,}5}=1{,}648721271,\\\ e^{0{,}6}=1{,}822118800,\\\ e^{0{,}7}=2{,}013752707,\\\ e^{0{,}8}=2{,}225540928,\\\ e^{0{,}9}=2{,}459603111,\\\ e^{1{,}0}=2{,}718281828. \end{array}
Também é útil o fator para os pontos médios e^{t_n+0{,}05}=e^{0{,}05}e^{t_n} com e^{0{,}05}\approx1{,}051271096. Para computar as atualizações uso aritmética aproximada com precisão suficiente para comparação de erros.

Passo 5

Iterações do método de Euler Melhorado (trapezoidal) sobre z.
Fórmula usada: z_{n+1}=z_n+0{,}05\bigl(e^{t_n}+e^{t_{n+1}}\bigr).
Partindo de z_0=e^{y(0)}=e\approx2{,}718281828, obtemos (apenas 6–9 dígitos mostrados):
\begin{array}{l} z_0=2{,}718281828,\\\ z_1=2{,}718281828+0{,}05(1{,}000000000+1{,}105170918)=2{,}823540374,\\\ z_2=2{,}823540374+0{,}05(1{,}105170918+1{,}221402758)=2{,}939869058,\\\ z_3=3{,}068432136,\\\ z_4=3{,}210516311,\\\ z_5=3{,}367543610,\\\ z_6=3{,}541085613,\\\ z_7=3{,}732879189,\\\ z_8=3{,}944843870,\\\ z_9=4{,}179101072,\\\ z_{10}=4{,}437995319. \end{array}
(Os intermediários z_3,\dots,z_9 foram calculados com a mesma fórmula; mostrei os valores arredondados consistentes com os incrementos.)
Convertendo para y_n=\ln z_n obtemos os y aproximados pelo Euler Melhorado; em particular no final:
y_{10}^{(\text{E.M.})}=\ln\bigl(z_{10}\bigr)=\ln\bigl(4{,}437995319\bigr)\approx1{,}49030.

Passo 6

Iterações do método do Ponto Médio sobre z.
Fórmula usada: z_{n+1}=z_n+0{,}1\,e^{t_n+0{,}05}=z_n+0{,}1051271096\,e^{t_n}.
Partindo de z_0=2{,}718281828, obtemos (valores arredondados mostrados):
\begin{array}{l} z_0=2{,}718281828,\\\ z_1=2{,}823408938,\\\ z_2=2{,}939592637,\\\ z_3=3{,}067994938,\\\ z_4=3{,}209901737,\\\ z_5=3{,}366733037,\\\ z_6=3{,}540058337,\\\ z_7=3{,}731612437,\\\ z_8=3{,}943312237,\\\ z_9=4{,}177276937,\\\ z_{10}=4{,}435847837. \end{array}
Convertendo para y_n=\ln z_n obtemos os y aproximados pelo Ponto Médio; em particular no final:
y_{10}^{(\text{PM})}=\ln\bigl(z_{10}\bigr)=\ln\bigl(4{,}435847837\bigr)\approx1{,}48982.

Passo 7

Cálculo do erro comparativo em t=1.
A solução exata em t=1 é
y(1)=\ln\bigl(e^{1}+e-1\bigr)=\ln\bigl(2e-1\bigr)\quad\text{e numericamente}\quad y(1)\approx1{,}48998.
Erros finais aproximados:
\begin{array}{l} \text{Euler Melhorado: }\;|y_{10}^{(\text{E.M.})}-y(1)|\approx|1{,}49030-1{,}48998|\approx3{,}2\times10^{-4},\\[4pt] \text{Ponto Médio: }\;|y_{10}^{(\text{PM})}-y(1)|\approx|1{,}48982-1{,}48998|\approx1{,}6\times10^{-4}. \end{array}é
Ou, olhando em termos de z,
\begin{array}{l} z(1)_{\text{exato}}=4{,}436563657,\\\ z_{10}^{(\text{E.M.})}=4{,}437995319\quad(\text{erro}\approx1{,}43\times10^{-3}),\\\ z_{10}^{(\text{PM})}=4{,}435847837\quad(\text{erro}\approx-7{,}16\times10^{-4}). \end{array}
Em módulo, o erro no Ponto Médio é menor (aproximadamente metade do erro do Euler Melhorado neste caso com h=0{,}1).]

Passo 8

Interpretação final e comentário didático rápido: ambos os métodos são de ordem 2 (erro global \mathcal{O}(h^{2})), então com h=0{,}1 esperávamos erros da ordem 10^{-4} a 10^{-3}. Aqui, ao linearizar com z=e^{y} e aplicar as fórmulas diretas para integrar e^{t}, obtivemos aproximações sólidas. O Ponto Médio apresentou erro final menor para este problema e passo, por isso o consideramos melhor neste teste numérico.

Resposta

Valores em t=1: Euler Melhorado y(1)\approx 1{,}49030; Ponto Médio y(1)\approx 1{,}48982.
Método melhor: Ponto Médio (erro absoluto \approx 1{,}6\times10^{-4} menor do que o do Euler Melhorado \approx 3{,}2\times10^{-4}).

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