Mostra que podemos escrever
v=\frac{d \omega}{d k}
a partir da ideia elementar que temos de
v=\frac{d x}{d t}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos como, a partir da ideia elementar de velocidade v=\dfrac{d x}{d t}, se chega à expressão
v=\frac{d \omega}{d k}.
Vou listar claramente o que temos e o que vamos usar:
  • Temos ondas descritas por números de onda k e pulsação (frequência angular) \omega.
  • A relação \omega=\omega(k) é a chamada relação de dispersão: dá a pulsação de cada modo em função do seu número de onda.
  • O objetivo é calcular a velocidade com que um pacote de ondas (o máximo do envelope, ou seja, o “grumo” de ondas) se desloca, e provar que essa velocidade é \dfrac{d\omega}{dk}.
  • Método que vou usar: construir um pacote simples como superposição de duas ondas com números de onda próximos e seguir a posição do máximo do envelope; depois passar ao limite em que as duas ondas ficam infinitesimamente próximas (isso dá a derivada).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é uma onda plana monofrequencial. Escrevemos uma onda como (uso a forma real, ou a forma complexa equivalente)
\psi(x,t)=\cos\bigl(kx-\omega t\bigr).
Aqui:
  • k é o número de onda (medida em \mathrm{rad/m}), que determina a distância entre cristas: comprimento de onda \lambda=\dfrac{2\pi}{k}.
  • \omega é a pulsação (medida em \mathrm{rad/s}), relacionada à frequência por f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
    Uma única onda monofrequencial não tem um “pacote”; ela ocupa todo o espaço. Para obter um pacote localizado, superpõe-se várias ondas com k e \omega próximos.

Passo 3

Constrói-se o pacote mais simples como soma de duas ondas com números de onda e pulsação próximos:
\psi(x,t)=\cos\bigl(k_1 x-\omega_1 t\bigr)+\cos\bigl(k_2 x-\omega_2 t\bigr),
com k_2=k_1+\Delta k e \omega_2=\omega_1+\Delta\omega, onde \Delta k e \Delta\omega são pequenos. Usa-se a identidade trigonométrica de soma de cossenos:
\cos A + \cos B = 2\cos\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Aplicando com A=k_1 x-\omega_1 t e B=k_2 x-\omega_2 t obtemos
\psi(x,t)=2\cos\!\Bigl(\frac{(k_1+k_2)x-(\omega_1+\omega_2)t}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{(k_1-k_2)x-(\omega_1-\omega_2)t}{2}\Bigr).
Agora substituo k_2=k_1+\Delta k e \omega_2=\omega_1+\Delta\omega. Calculando as combinações:
\frac{k_1+k_2}{2}=k_1+\frac{\Delta k}{2},\qquad \frac{\omega_1+\omega_2}{2}=\omega_1+\frac{\Delta\omega}{2},
\frac{k_1-k_2}{2}=-\frac{\Delta k}{2},\qquad \frac{\omega_1-\omega_2}{2}=-\frac{\Delta\omega}{2}.
Assim a soma fica, reorganizando sinais,
\psi(x,t)=2\cos\!\Bigl(\bigl(k_1+\tfrac{\Delta k}{2}\bigr)x-\bigl(\omega_1+\tfrac{\Delta\omega}{2}\bigr)t\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{\Delta k}{2}\,x-\tfrac{\Delta\omega}{2}\,t\Bigr).

Passo 4

Interpretação física das duas partes do produto:
  • O primeiro cosseno, \cos\!\bigl((k_1+\tfrac{\Delta k}{2})x-(\omega_1+\tfrac{\Delta\omega}{2})t\bigr), é a “portadora” (carrier): oscilações rápidas com comprimento de onda cerca de \dfrac{2\pi}{k_1}.
  • O segundo cosseno, \cos\!\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x-\tfrac{\Delta\omega}{2}t\bigr), varia lentamente (porque \Delta k e \Delta\omega são pequenos) e é o envelope (a amplitude moduladora) do pacote. Os máximos do pacote ocorrem quando o argumento do envelope é igual a um valor constante (por exemplo zero ou n\pi), isto é:
\frac{\Delta k}{2}\,x-\frac{\Delta\omega}{2}\,t = \text{constante}.
Multiplicando por 2 e escrevendo de forma mais simples:
\Delta k \, x - \Delta\omega \, t = C,
onde C é uma constante (pode ser zero, n2\pi etc., qualquer máximo fixo do envelope). Essa equação descreve a trajetória no espaço-tempo do máximo do pacote.

Passo 5

Agora encontramos a velocidade do máximo: diferenciamos a condição da posição do máximo em relação ao tempo. Como C é constante, derivando ambos os lados em relação a t
\Delta k \,\frac{d x}{d t} - \Delta\omega = 0.
Isolando \dfrac{d x}{d t} obtemos
\frac{d x}{d t} = \frac{\Delta\omega}{\Delta k}.
Pela definição elementar de velocidade temos v=\dfrac{d x}{d t}, portanto a velocidade do máximo (a velocidade do pacote, chamada de velocidade de grupo) é
v=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.

Passo 6

Finalmente, passamos ao limite em que as duas ondas ficam infinitesimalmente próximas, isto é \Delta k\to 0. Se \omega é uma função diferenciável de k, então por definição da derivada
\lim_{\Delta k\to 0}\frac{\Delta\omega}{\Delta k}=\frac{d\omega}{d k}.
Tomando esse limite na expressão anterior obtemos a versão infinitesimal e exata:
v=\frac{d\omega}{d k}.
Isso mostra que a velocidade do centro (máximo) de um pacote estreito de ondas é a derivada da pulsação em relação ao número de onda.

Passo 7

Breve interpretação e observações pedagógicas (para usar na prova):
  • A velocidade v=\dfrac{d\omega}{d k} é chamada velocidade de grupo; ela dá a velocidade com que a energia ou a informação transportada pelo pacote geralmente se desloca.
  • Existe também a velocidade de fase v_{\text{fase}}=\dfrac{\omega}{k}, que é a velocidade das cristas individuais (o carrier). Em geral v_{\text{fase}}\neq v_{\text{grupo}}.
  • A derivação que fiz é a mais elementar e funciona quando o pacote é formado por modos próximos (pacote estreito em k-espaço) e \omega(k) é diferenciável. Na prova, se pedirem uma justificativa rápida, pode-se fazer exatamente como acima: construir duas ondas próximas, achar o envelope e passar ao limite.
  • Exemplo rápido: se \omega=c k (não-dispersivo), então \dfrac{d\omega}{dk}=c e fase e grupo coincidem; se \omega é não linear em k, há dispersão e as velocidades diferem.

Resposta

v=\frac{d\omega}{d k}

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