Mostra que podemos escrever
a partir da ideia elementar que temos de
Passo 1
O enunciado pede que mostremos como, a partir da ideia elementar de velocidade
, se chega à expressão
Vou listar claramente o que temos e o que vamos usar:
- Temos ondas descritas por números de onda
e pulsação (frequência angular) . - A relação
é a chamada relação de dispersão: dá a pulsação de cada modo em função do seu número de onda. - O objetivo é calcular a velocidade com que um pacote de ondas (o máximo do envelope, ou seja, o “grumo” de ondas) se desloca, e provar que essa velocidade é
. - Método que vou usar: construir um pacote simples como superposição de duas ondas com números de onda próximos e seguir a posição do máximo do envelope; depois passar ao limite em que as duas ondas ficam infinitesimamente próximas (isso dá a derivada).
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é uma onda plana monofrequencial. Escrevemos uma onda como (uso a forma real, ou a forma complexa equivalente)
Aqui:
-
é o número de onda (medida em ), que determina a distância entre cristas: comprimento de onda . -
é a pulsação (medida em ), relacionada à frequência por .
Uma única onda monofrequencial não tem um “pacote”; ela ocupa todo o espaço. Para obter um pacote localizado, superpõe-se várias ondas come próximos.
Passo 3
Constrói-se o pacote mais simples como soma de duas ondas com números de onda e pulsação próximos:
com
e
, onde
e
são pequenos. Usa-se a identidade trigonométrica de soma de cossenos:
Aplicando com
e
obtemos
Agora substituo
e
. Calculando as combinações:
Assim a soma fica, reorganizando sinais,
Passo 4
Interpretação física das duas partes do produto:
- O primeiro cosseno,
, é a “portadora” (carrier): oscilações rápidas com comprimento de onda cerca de . - O segundo cosseno,
, varia lentamente (porque e são pequenos) e é o envelope (a amplitude moduladora) do pacote. Os máximos do pacote ocorrem quando o argumento do envelope é igual a um valor constante (por exemplo zero ou ), isto é:
Multiplicando por
e escrevendo de forma mais simples:
onde
é uma constante (pode ser zero,
etc., qualquer máximo fixo do envelope). Essa equação descreve a trajetória no espaço-tempo do máximo do pacote.
Passo 5
Agora encontramos a velocidade do máximo: diferenciamos a condição da posição do máximo em relação ao tempo. Como
é constante, derivando ambos os lados em relação a
dá
Isolando
obtemos
Pela definição elementar de velocidade temos
, portanto a velocidade do máximo (a velocidade do pacote, chamada de velocidade de grupo) é
Passo 6
Finalmente, passamos ao limite em que as duas ondas ficam infinitesimalmente próximas, isto é
. Se
é uma função diferenciável de
, então por definição da derivada
Tomando esse limite na expressão anterior obtemos a versão infinitesimal e exata:
Isso mostra que a velocidade do centro (máximo) de um pacote estreito de ondas é a derivada da pulsação em relação ao número de onda.
Passo 7
Breve interpretação e observações pedagógicas (para usar na prova):
- A velocidade
é chamada velocidade de grupo; ela dá a velocidade com que a energia ou a informação transportada pelo pacote geralmente se desloca. - Existe também a velocidade de fase
, que é a velocidade das cristas individuais (o carrier). Em geral . - A derivação que fiz é a mais elementar e funciona quando o pacote é formado por modos próximos (pacote estreito em
-espaço) e é diferenciável. Na prova, se pedirem uma justificativa rápida, pode-se fazer exatamente como acima: construir duas ondas próximas, achar o envelope e passar ao limite. - Exemplo rápido: se
(não-dispersivo), então e fase e grupo coincidem; se é não linear em , há dispersão e as velocidades diferem.