|Exercício
A partir do Modelo de DeBrolie, responda os itens a seguir.
Qual é o comprimento de onda de um corpo de 1 g que se move com uma velocidade de 1 m por ano?
|17-b > Qual deveria ser a velocidade do corpo para que o comprimento de onda fosse igual a 1 cm ?
|17-b > Qual deveria ser a velocidade do corpo para que o comprimento de onda fosse igual a 1 cm ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas a partir da relação de De Broglie aplicada a um corpo macroscópico:
- (17-a) Determinar o comprimento de onda associado a um corpo de massa
que se move com velocidade de por ano. - (17-b) Determinar a velocidade necessária para que o comprimento de onda associado a esse mesmo corpo seja
.
Informações numéricas fornecidas ou implícitas que vou usar (todas convertidas para unidades SI quando necessário):
- Massa do corpo:
. - Para (17-a): deslocamento de
em ano. Vou tomar ano como dias, ou seja . Logo a velocidade vale . - Para (17-b): comprimento de onda desejado
. - Constante de Planck:
(valor adotado).
Passo 2
Vou lembrar a fórmula de De Broglie e explicar o que cada símbolo significa.
A relação de De Broglie dá o comprimento de onda associado a uma partícula (ou corpo móvel) como
A relação de De Broglie dá o comprimento de onda associado a uma partícula (ou corpo móvel) como
onde:
-
é o comprimento de onda (em metros, ); -
é a constante de Planck (em joule-segundo, ); -
é o momento linear da partícula (em ).
Para partículas não-relativísticas o momento linear é
, onde:
-
é a massa (em ); -
é a velocidade (em ).
Unidades: como
, a unidade de
dividida por
resulta em metros, ou seja
sai em
. Isso garante consistência dimensional.
Passo 3
Resolver (17-a): calcular a velocidade em
.
Vamos obter um valor numérico aproximado:
Também converter a massa:
Passo 4
Calcular
em (17-a) usando
.
Primeiro o momento:
Primeiro o momento:
Agora o comprimento de onda:
Avaliação numérica da razão:
portanto
Comentário prático: esse valor é absurdamente pequeno — muito, muito menor que qualquer escala observável para um objeto macroscópico; por isso efeitos de onda são totalmente desprezíveis para massas e velocidades desse tipo.
Passo 5
Resolver (17-b): desejamos
. Isolando
na fórmula
obtemos
Substituindo
,
e
:
Logo
Passo 6
Interpretação e intuição física (rápida, para te animar): a velocidade obtida em (17-b) é extremamente pequena — muito menor que qualquer velocidade mensurável ou praticável. Para ter um comprimento de onda de ordem de centímetros, um corpo de massa
teria de ter movimento quase estático com velocidade da ordem de
. Isso reforça a ideia de que efeitos quânticos de De Broglie só são relevantes para partículas leves (elétrons, átomos) ou massas muito pequenas, e não para objetos macroscópicos.
Resposta
(17-a)
(17-b)