|Exercício 17> A partir do Modelo de DeBrolie, responda os itens a seguir.
\mid \mathbf{1 7}-\mathbf{a}> Qual é o comprimento de onda de um corpo de 1 g que se move com uma velocidade de 1 m por ano?
|17-b > Qual deveria ser a velocidade do corpo para que o comprimento de onda fosse igual a 1 cm ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas a partir da relação de De Broglie aplicada a um corpo macroscópico:
  • (17-a) Determinar o comprimento de onda associado a um corpo de massa 1\\ \text{g} que se move com velocidade de 1\\ \text{m} por ano.
  • (17-b) Determinar a velocidade necessária para que o comprimento de onda associado a esse mesmo corpo seja 1\\ \text{cm}.
Informações numéricas fornecidas ou implícitas que vou usar (todas convertidas para unidades SI quando necessário):
  • Massa do corpo: m = 1\\ \text{g} = 0,001\\ \text{kg}.
  • Para (17-a): deslocamento de 1\\ \text{m} em 1 ano. Vou tomar 1 ano como 365 dias, ou seja 1\\ \text{ano} = 365\cdot24\cdot3600 = 31\,536\,000\\ \text{s}. Logo a velocidade vale v = \dfrac{1\\ \text{m}}{31\,536\,000\\ \text{s}}.
  • Para (17-b): comprimento de onda desejado \lambda = 1\\ \text{cm} = 0,01\\ \text{m}.
  • Constante de Planck: h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s} (valor adotado).

Passo 2

Vou lembrar a fórmula de De Broglie e explicar o que cada símbolo significa.
A relação de De Broglie dá o comprimento de onda associado a uma partícula (ou corpo móvel) como
\lambda = \frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros, \text{m});
  • h é a constante de Planck (em joule-segundo, \text{J}\cdot\text{s});
  • p é o momento linear da partícula (em \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}).
Para partículas não-relativísticas o momento linear é p = m v, onde:
  • m é a massa (em \text{kg});
  • v é a velocidade (em \text{m}/\text{s}).
Unidades: como 1\\ \text{J} = 1\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2, a unidade de h dividida por \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s} resulta em metros, ou seja \lambda sai em \text{m}. Isso garante consistência dimensional.

Passo 3

Resolver (17-a): calcular a velocidade em \text{m}/\text{s}.
v = \frac{1\\ \text{m}}{1\\ \text{ano}} = \frac{1}{31\,536\,000}\\ \text{m/s}.
Vamos obter um valor numérico aproximado:
v \approx 3{,}16880878\times10^{-8}\\ \text{m/s}.
Também converter a massa:
m = 1\\ \text{g} = 0{,}001\\ \text{kg} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \text{kg}.

Passo 4

Calcular \lambda em (17-a) usando \lambda = \dfrac{h}{m v}.
Primeiro o momento:
p = m v = \left(1{,}0\times10^{-3}\right)\left(3{,}16880878\times10^{-8}\right) = 3{,}16880878\times10^{-11}\\ \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}.
Agora o comprimento de onda:
\lambda = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{3{,}16880878\times10^{-11}} = \left(\frac{6{,}62607015}{3{,}16880878}\right)\times10^{-23}.
Avaliação numérica da razão:
\frac{6{,}62607015}{3{,}16880878}\approx 2{,}092,
portanto
\lambda \approx 2{,}09\times10^{-23}\\ \text{m}.
Comentário prático: esse valor é absurdamente pequeno — muito, muito menor que qualquer escala observável para um objeto macroscópico; por isso efeitos de onda são totalmente desprezíveis para massas e velocidades desse tipo.

Passo 5

Resolver (17-b): desejamos \lambda = 0{,}01\\ \text{m}. Isolando v na fórmula \lambda = \dfrac{h}{m v} obtemos
v = \frac{h}{m\lambda}.
Substituindo h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}, m = 1{,}0\times10^{-3}\\ \text{kg} e \lambda = 1{,}0\times10^{-2}\\ \text{m}:
v = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{\left(1{,}0\times10^{-3}\right)\left(1{,}0\times10^{-2}\right)} = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{1{,}0\times10^{-5}}.
Logo
v = 6{,}62607015\times10^{-29}\\ \text{m/s}.

Passo 6

Interpretação e intuição física (rápida, para te animar): a velocidade obtida em (17-b) é extremamente pequena — muito menor que qualquer velocidade mensurável ou praticável. Para ter um comprimento de onda de ordem de centímetros, um corpo de massa 1\\ \text{g} teria de ter movimento quase estático com velocidade da ordem de 10^{-29}\\ \text{m/s}. Isso reforça a ideia de que efeitos quânticos de De Broglie só são relevantes para partículas leves (elétrons, átomos) ou massas muito pequenas, e não para objetos macroscópicos.

Resposta

(17-a) \lambda \approx 2{,}09\times10^{-23}\\ \mathrm{m}
(17-b) v \approx 6{,}63\times10^{-29}\\ \mathrm{m/s}

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