(a) Combine a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton para mostrar que
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right)
em que o primeiro e o segundo termos são as energias cinéticas finalne inicial, respectivamente.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força da gravidade quando um objeto de massa m sai de uma altura inicial y_{i} e chega em uma altura final y_{f} é dado por
W_{g}=-m g y_{f}+m g y_{i}
(c) Combine a equação do item (a) com a equação do item (b) para obter a Lei de Conservação da Energia Mecânica.

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas:
  • (a) Combinar a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton para mostrar que
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right).
  • (b) Mostrar que o trabalho da gravidade ao deslocar uma massa m de uma altura inicial y_{i} para uma final y_{f} é
W_{g}=-m g y_{f}+m g y_{i}.
  • (c) Combinar os resultados de (a) e (b) para obter a Lei de Conservação da Energia Mecânica.
Informações e fórmulas que o enunciado fornece ou que são relevantes (estas são as peças que vamos usar depois):
  • A equação de Torricelli (relação entre velocidades, aceleração e deslocamento) — vamos trabalhar com a forma
v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2a\left(x_{f}-x_{i}\right).
  • A segunda lei de Newton (para movimento unidimensional com força constante)
F=m a,
onde F é a força resultante, m a massa e a a aceleração.
  • A definição de trabalho de uma força constante F ao deslocar-se ao longo de uma direção x é
W=F\left(x_{f}-x_{i}\right).
  • A força peso (gravidade), tomando y positivo para cima, é
F_{g}=-m g,
onde g é a intensidade da aceleração da gravidade (positiva).

Passo 2

Antes de combinar as equações, vamos entender de onde vem a equação de Torricelli e o que ela significa (uma mini-aula bem mastigada).
  • Velocidade instantânea v: taxa de variação da posição em relação ao tempo, v=\dfrac{dx}{dt}.
  • Aceleração a: taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, a=\dfrac{dv}{dt}.
  • Se a aceleração é constante (caso clássico que Torricelli trata), podemos usar a identidade
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Essa identidade é só a regra da cadeia: dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) e dx/dt=v.
  • Reescrevendo a=v\,dv/dx e separando variáveis:
v\,dv = a\,dx.
  • Integrando entre os instantes/posições correspondentes às velocidades e posições inicial e final:
\int_{v_i}^{v_f} v\,dv = \int_{x_i}^{x_f} a\,dx.
  • Como a é constante, a integral do lado direito é a(x_f-x_i) e a do lado esquerdo é \tfrac{1}{2}(v_f^2-v_i^2). Assim obtemos a equação de Torricelli:
v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2a\left(x_{f}-x_{i}\right).
Essa fórmula liga velocidades, aceleração constante e deslocamento, sem envolver o tempo.

Passo 3

Agora revisando a segunda lei de Newton e interpretando as quantidades:
  • A segunda lei em uma dimensão é simplesmente
F=m a,
ou seja, a força resultante F que atua sobre a massa m produz uma aceleração a.
  • Podemos isolar a como
a=\frac{F}{m}.
Substituir essa expressão de a na equação de Torricelli conecta as duas fórmulas. Começamos com
v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2a\left(x_{f}-x_{i}\right).
Substituindo a=\dfrac{F}{m} obtemos
v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2\frac{F}{m}\left(x_{f}-x_{i}\right).
Agora multiplicamos ambos os lados por \dfrac{m}{2} para isolar termos com \tfrac{1}{2}mv^{2}:
\frac{m}{2}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)=F\left(x_{f}-x_{i}\right).
Por distributividade do lado esquerdo:
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right).
  • Interpretação física: o termo \dfrac{1}{2}m v^{2} é a energia cinética K. Então a equação diz que a variação da energia cinética entre os estados inicial e final é igual ao trabalho realizado pela força constante F durante o deslocamento — isto é o teorema do trabalho e energia para força constante.

Passo 4

Agora resolvemos o item (b): calcular o trabalho da força da gravidade entre alturas y_i e y_f. Vamos ser explícitos sobre convenções e integrais para ficar tranquilo na prova.
  • Escolhemos o eixo vertical y apontando para cima (convenção usual). Com essa escolha a força peso é \,F_{g}=-m g, que é constante e dirigida para baixo.
  • A definição de trabalho por uma força constante F agindo ao longo de um deslocamento em y é
W=\int_{y_i}^{y_f} F_{g}\,dy.
Como F_{g} é constante e igual a -m g, a integral é simples:
W_{g}=\int_{y_i}^{y_f} (-m g)\,dy = -m g \int_{y_i}^{y_f} dy = -m g\left(y_{f}-y_{i}\right).
  • Expandindo o parêntese obtemos exatamente a forma pedida:
W_{g}=-m g y_{f}+m g y_{i}.
  • Interpretação de sinal: se o objeto desce ( y_f<y_i), então y_f-y_i<0 e W_g>0 — a gravidade realiza trabalho positivo ao baixar o objeto. Se o objeto sobe, a gravidade faz trabalho negativo (extraímos energia do sistema).

Passo 5

Por fim, item (c): combinar (a) e (b) para obter a Lei de Conservação da Energia Mecânica.
  • Do item (a) temos o teorema do trabalho e energia (para uma única força F constante atuando ao longo do eixo \,x):
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right).
  • Agora consideramos o caso em que a única força que realiza trabalho é a força peso. Nesse caso podemos aplicar (a) tomando x = y (deslocamento vertical) e F=F_g=-m g. Assim o lado direito é exatamente o trabalho da gravidade W_g calculado no item (b). Então podemos escrever
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=W_{g}.
  • Substituindo o resultado de (b) para W_g:
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2} = -m g y_{f}+m g y_{i}.
  • Reorganizando os termos para agrupar energia cinética e um termo que depende só de y, é natural definir a energia potencial gravitacional como
U(y)=m g y.
Com essa definição, o lado direito -m g y_{f}+m g y_{i} é -U(y_f)+U(y_i)=-(U_f-U_i)=-\Delta U. Então a equação fica
\Delta K = -\Delta U,
ou seja
\Delta K + \Delta U = 0.
  • Escrevendo explicitamente:
\frac{1}{2}m v_{f}^{2} + m g y_{f} = \frac{1}{2}m v_{i}^{2} + m g y_{i}.
Isto é a Lei de Conservação da Energia Mecânica para um sistema sujeito apenas à força peso (força conservativa): a soma da energia cinética K e da energia potencial gravitacional U permanece constante entre os instantes/posições considerados.

Resposta

\displaystyle \frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right)
\displaystyle W_{g}=-m g y_{f}+m g y_{i}
\displaystyle \frac{1}{2}m v_{f}^{2} + m g y_{f} = \frac{1}{2}m v_{i}^{2} + m g y_{i}

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