(a) Combine a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton para mostrar que
em que o primeiro e o segundo termos são as energias cinéticas finalne inicial, respectivamente.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força da gravidade quando um objeto de massa
sai de uma altura inicial
e chega em uma altura final
é dado por
(c) Combine a equação do item (a) com a equação do item (b) para obter a Lei de Conservação da Energia Mecânica.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força da gravidade quando um objeto de massa
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
- (a) Combinar a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton para mostrar que
- (b) Mostrar que o trabalho da gravidade ao deslocar uma massa
de uma altura inicial para uma final é
- (c) Combinar os resultados de (a) e (b) para obter a Lei de Conservação da Energia Mecânica.
Informações e fórmulas que o enunciado fornece ou que são relevantes (estas são as peças que vamos usar depois):
- A equação de Torricelli (relação entre velocidades, aceleração e deslocamento) — vamos trabalhar com a forma
- A segunda lei de Newton (para movimento unidimensional com força constante)
onde
é a força resultante,
a massa e
a aceleração.
- A definição de trabalho de uma força constante
ao deslocar-se ao longo de uma direção é
- A força peso (gravidade), tomando
positivo para cima, é
onde
é a intensidade da aceleração da gravidade (positiva).
Passo 2
Antes de combinar as equações, vamos entender de onde vem a equação de Torricelli e o que ela significa (uma mini-aula bem mastigada).
- Velocidade instantânea
: taxa de variação da posição em relação ao tempo, . - Aceleração
: taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, . - Se a aceleração é constante (caso clássico que Torricelli trata), podemos usar a identidade
Essa identidade é só a regra da cadeia:
e
.
- Reescrevendo
e separando variáveis:
- Integrando entre os instantes/posições correspondentes às velocidades e posições inicial e final:
- Como
é constante, a integral do lado direito é e a do lado esquerdo é . Assim obtemos a equação de Torricelli:
Essa fórmula liga velocidades, aceleração constante e deslocamento, sem envolver o tempo.
Passo 3
Agora revisando a segunda lei de Newton e interpretando as quantidades:
- A segunda lei em uma dimensão é simplesmente
ou seja, a força resultante
que atua sobre a massa
produz uma aceleração
.
- Podemos isolar
como
Substituir essa expressão de
na equação de Torricelli conecta as duas fórmulas. Começamos com
Substituindo
obtemos
Agora multiplicamos ambos os lados por
para isolar termos com
:
Por distributividade do lado esquerdo:
- Interpretação física: o termo
é a energia cinética . Então a equação diz que a variação da energia cinética entre os estados inicial e final é igual ao trabalho realizado pela força constante durante o deslocamento — isto é o teorema do trabalho e energia para força constante.
Passo 4
Agora resolvemos o item (b): calcular o trabalho da força da gravidade entre alturas
e
. Vamos ser explícitos sobre convenções e integrais para ficar tranquilo na prova.
- Escolhemos o eixo vertical
apontando para cima (convenção usual). Com essa escolha a força peso é , que é constante e dirigida para baixo. - A definição de trabalho por uma força constante
agindo ao longo de um deslocamento em é
Como
é constante e igual a
, a integral é simples:
- Expandindo o parêntese obtemos exatamente a forma pedida:
- Interpretação de sinal: se o objeto desce (
), então e — a gravidade realiza trabalho positivo ao baixar o objeto. Se o objeto sobe, a gravidade faz trabalho negativo (extraímos energia do sistema).
Passo 5
Por fim, item (c): combinar (a) e (b) para obter a Lei de Conservação da Energia Mecânica.
- Do item (a) temos o teorema do trabalho e energia (para uma única força
constante atuando ao longo do eixo ):
- Agora consideramos o caso em que a única força que realiza trabalho é a força peso. Nesse caso podemos aplicar (a) tomando
= (deslocamento vertical) e . Assim o lado direito é exatamente o trabalho da gravidade calculado no item (b). Então podemos escrever
- Substituindo o resultado de (b) para
:
- Reorganizando os termos para agrupar energia cinética e um termo que depende só de
, é natural definir a energia potencial gravitacional como
Com essa definição, o lado direito
é
. Então a equação fica
ou seja
- Escrevendo explicitamente:
Isto é a Lei de Conservação da Energia Mecânica para um sistema sujeito apenas à força peso (força conservativa): a soma da energia cinética
e da energia potencial gravitacional
permanece constante entre os instantes/posições considerados.