Mostrando os detalhes do que fizer, encontre mathscr{L}(f) se f(t) for igual a:
t e^{-2 t} \operatorname{sen} t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede para encontrar \mathscr{L}(f), ou seja a transformada de Laplace de f.
  • A função dada é f(t)=t e^{-2t}\operatorname{sen}t. Em notação TeX usarei \sin para seno, então f(t)=t e^{-2t}\sin t.
  • Devemos fornecer a transformada em termos da variável s e indicar a região de convergência (quando necessário).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e significado das variáveis.
  • A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por \mathscr{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt,onde t é a variável do tempo (domínio original) e s é a variável complexa (no enunciado tratamos s real suficiente).
  • Aqui queremos \mathscr{L}\{t e^{-2t}\sin t\}(s), ou seja a integral impropria \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t e^{-2t}\sin t\,dt.
  • Em vez de calcular essa integral diretamente (o que dá trabalho), usamos propriedades padrão da transformada que simplificam muito o processo — eu vou mostrar e justificar cada uma.

Passo 3

Propriedade de deslocamento (frequency shift) — enunciado e demonstração curta.
  • Se G(s)=\mathscr{L}\{g(t)\}(s), então para qualquer constante real a \mathscr{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s-a).
  • Demonstração rápida (substituição dentro da integral): \mathscr{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} g(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt = G(s-a).
  • No nosso problema temos um fator e^{-2t}, isto é a=-2. Portanto, se soubermos a transformada de g(t)=t\sin t, basta substituir s por s+2 (porque s-a = s-(-2)=s+2).

Passo 4

Propriedade da multiplicação por t — enunciado e demonstração curta.
  • Se G(s)=\mathscr{L}\{g(t)\}(s), então \mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}G(s).
  • Demonstração (diferenciação sob o sinal de integral): \frac{d}{ds}G(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big) g(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-st}g(t)\,dt = -\mathscr{L}\{t g(t)\}(s).Assim \mathscr{L}\{t g(t)\}(s)=-G'(s).
  • Portanto, para obter \mathscr{L}\{t\sin t\} basta derivar \mathscr{L}\{\sin t\} com sinal negativo.

Passo 5

Transformada básica: \mathscr{L}\{\sin t\}.
  • Vamos calcular \mathscr{L}\{\sin t\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt para s>0.
  • Método curto e elegante: escrevemos \sin t = \Im(e^{it}) e consideramos \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt = \Im\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt.A integral geométrica é \int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt = \frac{1}{s-i} quando \Re(s)>0. Tomando a parte imaginária: \Im\left(\frac{1}{s-i}\right)=\Im\left(\frac{s+i}{s^2+1}\right)=\frac{1}{s^2+1}.
  • Logo \mathscr{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^2+1},\qquad s>0.

Passo 6

Aplicar a propriedade de multiplicação por t para obter \mathscr{L}\{t\sin t\}.
  • Seja G_0(s)=\mathscr{L}\{\sin t\}(s)=\dfrac{1}{s^2+1}.
  • Então \mathscr{L}\{t\sin t\}(s) = -\frac{d}{ds}G_0(s) = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^2+1}\right).
  • Calcule a derivada: usando regra da cadeia, \frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^2+1}\right) = -\frac{2s}{(s^2+1)^2}.Multiplicando pelo sinal negativo: \mathscr{L}\{t\sin t\}(s)=\frac{2s}{(s^2+1)^2}.
  • Observação sobre domínio: essa expressão é válida para s>0 (região onde originalmente \mathscr{L}\{\sin t\} converge).

Passo 7

Aplicar o deslocamento para incluir o fator e^{-2t}.
  • Lembrando a propriedade do Passo 3, para f(t)=t e^{-2t}\sin t temos \mathscr{L}\{t e^{-2t}\sin t\}(s) = \mathscr{L}\{e^{-2t}\cdot (t\sin t)\}(s) = \mathscr{L}\{t\sin t\}(s+2).
  • Substituímos s por s+2 na expressão obtida no Passo 6: \mathscr{L}\{t e^{-2t}\sin t\}(s) = \frac{2(s+2)}{\big((s+2)^2+1\big)^2}.
  • Podemos simplificar o denominador expandindo (s+2)^2+1: (s+2)^2+1 = s^2+4s+4+1 = s^2+4s+5.Assim uma forma mais compacta é \mathscr{L}\{t e^{-2t}\sin t\}(s) = \frac{2(s+2)}{(s^2+4s+5)^2}.
  • Região de convergência: como aplicamos a substituição s\mapsto s+2 e a expressão para \mathscr{L}\{t\sin t\} exigia \Re(s+2)>0, obtemos \Re(s)>-2. Para s real isso significa s>-2.

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}\{t e^{-2t}\sin t\}(s)=\frac{2(s+2)}{\big((s+2)^2+1\big)^2}=\frac{2(s+2)}{(s^2+4s+5)^2}, para s>-2.

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