Mostrando os detalhes do que fizer, encontre
se
for igual a:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede para encontrar
, ou seja a transformada de Laplace de . - A função dada é
. Em notação TeX usarei para seno, então - Devemos fornecer a transformada em termos da variável
e indicar a região de convergência (quando necessário).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e significado das variáveis.
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por onde é a variável do tempo (domínio original) e é a variável complexa (no enunciado tratamos real suficiente). - Aqui queremos
, ou seja a integral impropria - Em vez de calcular essa integral diretamente (o que dá trabalho), usamos propriedades padrão da transformada que simplificam muito o processo — eu vou mostrar e justificar cada uma.
Passo 3
Propriedade de deslocamento (frequency shift) — enunciado e demonstração curta.
- Se
, então para qualquer constante real - Demonstração rápida (substituição dentro da integral):
- No nosso problema temos um fator
, isto é . Portanto, se soubermos a transformada de , basta substituir por (porque ).
Passo 4
Propriedade da multiplicação por
— enunciado e demonstração curta.
- Se
, então - Demonstração (diferenciação sob o sinal de integral):
Assim . - Portanto, para obter
basta derivar com sinal negativo.
Passo 5
Transformada básica:
.
- Vamos calcular
para . - Método curto e elegante: escrevemos
e consideramos A integral geométrica é quando . Tomando a parte imaginária: - Logo
Passo 6
Aplicar a propriedade de multiplicação por
para obter
.
- Seja
. - Então
- Calcule a derivada: usando regra da cadeia,
Multiplicando pelo sinal negativo: - Observação sobre domínio: essa expressão é válida para
(região onde originalmente converge).
Passo 7
Aplicar o deslocamento para incluir o fator
.
- Lembrando a propriedade do Passo 3, para
temos - Substituímos
por na expressão obtida no Passo 6: - Podemos simplificar o denominador expandindo
: Assim uma forma mais compacta é - Região de convergência: como aplicamos a substituição
e a expressão para exigia , obtemos . Para real isso significa .