Dê o volume do sólido descrito, em coordenadas cilíndricas, pelas desigualdades 0 \leq r \leq 2,-\pi / 2 \leq \theta \leq \pi / 2 e 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido descrito pelas desigualdades 0 \leq r \leq 2, -\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2 e 0 \leq z \leq 1. Dados relevantes fornecidos:
  • O domínio em coordenadas cilíndricas é dado por r variando de 0 a 2.
  • O ângulo \theta varia de -\pi/2 a \pi/2.
  • A coordenada z varia de 0 a 1.
    A tarefa é calcular o volume do sólido definido por essas três desigualdades.

Passo 2

Interpretando geometricamente: para cada z entre 0 e 1 a seção transversal no plano xy é o setor radial com 0\le r\le2 e -\pi/2\le\theta\le\pi/2. Esse intervalo de \theta tem amplitude \pi, ou seja, corresponde a meia volta — portanto a base no plano xy é um semicírculo de raio 2. O sólido é, então, um “cilindro reto” (na verdade um semicílindro) de altura 1 acima desse semicírculo.

Passo 3

Regra para volume em coordenadas cilíndricas: o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação didática: quando mudamos de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,\theta) a área infinitesimal dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. O fator r aparece porque um anel radial de espessura dr e ângulo d\theta tem área aproximada r\,d\theta\cdot dr. Em coordenadas cilíndricas adicionamos o fator dz para o comprimento na direção z, obtendo dV.

Passo 4

Montamos a integral tripla para o volume com os limites dados:
V = \int_{z=0}^{1}\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui cada símbolo significa:
  • r é a coordenada radial (integrando de 0 a 2),
  • \theta é o ângulo polar (de -\pi/2 a \pi/2),
  • z é a altura (de 0 a 1),
    e o integrando r vem do elemento de volume dV.

Passo 5

Calcule a integral em r:
\int_{r=0}^{2} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2.
Portanto a integral reduz-se a
V = \int_{z=0}^{1}\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} 2 \,d\theta\,dz.

Passo 6

Calcule a integral em \theta:
\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} 2 \,d\theta = 2\left(\pi/2 - (-\pi/2)\right) = 2\cdot\pi = 2\pi.
Logo
V = \int_{z=0}^{1} 2\pi \,dz.

Passo 7

Calcule a integral em z:
\int_{z=0}^{1} 2\pi \,dz = 2\pi \cdot (1-0) = 2\pi.
Assim obtemos o volume final.

Passo 8

Checagem por raciocínio geométrico simples: a base é um semicírculo de raio 2 cuja área é \tfrac{1}{2}\pi r^{2} = \tfrac{1}{2}\pi\cdot 2^{2} = 2\pi. Multiplicando pela altura 1 dá novamente 2\pi. Concorda com o cálculo por integrais.

Resposta

2\pi

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