Dê o volume do sólido descrito, em coordenadas cilíndricas, pelas desigualdades 0 \leq r \leq 2,-\pi / 2 \leq \theta \leq \pi / 2 e 0 \leq z \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido descrito pelas desigualdades 0 \leq r \leq 2, -\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2 e 0 \leq z \leq 1. Dados relevantes fornecidos:
O domínio em coordenadas cilíndricas é dado por r variando de 0 a 2.
O ângulo \theta varia de -\pi/2 a \pi/2.
A coordenada z varia de 0 a 1.
A tarefa é calcular o volume do sólido definido por essas três desigualdades.
Passo 2
Interpretando geometricamente: para cada z entre 0 e 1 a seção transversal no plano xy é o setor radial com 0\le r\le2 e -\pi/2\le\theta\le\pi/2. Esse intervalo de \theta tem amplitude \pi, ou seja, corresponde a meia volta — portanto a base no plano xy é um semicírculo de raio 2. O sólido é, então, um “cilindro reto” (na verdade um semicílindro) de altura 1 acima desse semicírculo.
Passo 3
Regra para volume em coordenadas cilíndricas: o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação didática: quando mudamos de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,\theta) a área infinitesimal dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. O fator r aparece porque um anel radial de espessura dr e ângulo d\theta tem área aproximada r\,d\theta\cdot dr. Em coordenadas cilíndricas adicionamos o fator dz para o comprimento na direção z, obtendo dV.
Passo 4
Montamos a integral tripla para o volume com os limites dados:
V = \int_{z=0}^{1}\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui cada símbolo significa:
r é a coordenada radial (integrando de 0 a 2),
\theta é o ângulo polar (de -\pi/2 a \pi/2),
z é a altura (de 0 a 1),
e o integrando r vem do elemento de volume dV.
Checagem por raciocínio geométrico simples: a base é um semicírculo de raio 2 cuja área é \tfrac{1}{2}\pi r^{2} = \tfrac{1}{2}\pi\cdot 2^{2} = 2\pi. Multiplicando pela altura 1 dá novamente 2\pi. Concorda com o cálculo por integrais.