Questão.(2,5 pts) Utilize o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a soluçũo geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
e pede para encontrar a solução geral
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
- A equação é linear, com coeficientes constantes.\n
- O termo não homogêneo (forçamento) é
.\n - Precisamos da solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não homogênea.\n
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, ou seja da equação
Para isso usamos o polinômio característico. Escrevemos o polinômio característico associado substituindo
por
:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Fatorando notamos que
e
combinam:
Portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: cada raiz
do polinômio característico gera uma solução exponencial
. Para duas raízes distintas usamos combinação linear dessas exponenciais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
A ideia do método dos coeficientes indeterminados é adivinhar (assumir) uma forma para
parecida com o termo do lado direito e depois determinar os coeficientes que tornam a igualdade verdadeira. O lado direito é
, que é um múltiplo de
. Uma tentativa natural é
onde
é uma constante a determinar.\n
Antes de substituir, verificamos se é solução da homogênea (ressonância). As raízes do característico foram
e
, portanto
não é raiz; não há ressonância e a tentativa
é válida.
Antes de substituir, verificamos se
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Agora simplificamos os coeficientes:
Portanto a substituição produz
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Assim igualamos os coeficientes de
:
Passo 5
Resolvendo para
obtemos
Logo a solução particular é
Explicação extra: igualamos coeficientes porque exponenciais
são linearmente independentes de outras exponenciais com expoentes diferentes; assim o fator multiplicativo deve coincidir.
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Dica de prova rápida na hora da prova: se o termo for
onde
é polinômio, você tenta
onde
é a multiplicidade de
como raiz do característico e
tem o mesmo grau de
. Aqui
é constante,
e
porque
não é raiz, então
.