{ }^{a} Questão.(2,5 pts) Utilize o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a soluçũo geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=6 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=6e^{2t}
e pede para encontrar a solução geral y(t).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.\n
  • O termo não homogêneo (forçamento) é 6e^{2t}.\n
  • Precisamos da solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não homogênea.\n

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, ou seja da equação
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=0.
Para isso usamos o polinômio característico. Escrevemos o polinômio característico associado substituindo y^{(n)} por r^n:
r^{2}-2r-3=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Fatorando notamos que -3 e +1 combinam:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=3,\quad r_{2}=-1.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: cada raiz r do polinômio característico gera uma solução exponencial e^{rt}. Para duas raízes distintas usamos combinação linear dessas exponenciais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=6e^{2t}.
A ideia do método dos coeficientes indeterminados é adivinhar (assumir) uma forma para y_{p} parecida com o termo do lado direito e depois determinar os coeficientes que tornam a igualdade verdadeira. O lado direito é 6e^{2t}, que é um múltiplo de e^{2t}. Uma tentativa natural é
y_{p}(t)=A e^{2t},
onde A é uma constante a determinar.\n
Antes de substituir, verificamos se e^{2t} é solução da homogênea (ressonância). As raízes do característico foram 3 e -1, portanto 2 não é raiz; não há ressonância e a tentativa A e^{2t} é válida.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}^{\prime}(t)=2A e^{2t},\qquad y_{p}^{\prime\prime}(t)=4A e^{2t}.
Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}-3y_{p} = 4A e^{2t} - 2(2A e^{2t}) - 3(A e^{2t}).
Agora simplificamos os coeficientes:
4A e^{2t} - 4A e^{2t} - 3A e^{2t} = (-3A)e^{2t}.
Portanto a substituição produz
(-3A)e^{2t}.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito 6e^{2t}. Assim igualamos os coeficientes de e^{2t}:
-3A = 6.

Passo 5

Resolvendo para A obtemos
A = -2.
Logo a solução particular é
y_{p}(t) = -2e^{2t}.
Explicação extra: igualamos coeficientes porque exponenciais e^{2t} são linearmente independentes de outras exponenciais com expoentes diferentes; assim o fator multiplicativo deve coincidir.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-2e^{2t}.
Dica de prova rápida na hora da prova: se o termo for P(t)e^{\alpha t} onde P(t) é polinômio, você tenta t^{s}Q(t)e^{\alpha t} onde s é a multiplicidade de \alpha como raiz do característico e Q tem o mesmo grau de P. Aqui P é constante, \alpha=2 e s=0 porque 2 não é raiz, então y_{p}=A e^{2t}.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-2e^{2t}

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