(a) Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 \\\ y(0)=2 \text { e } y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.
(b) Qual o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações:
\left\{\begin{array}{l} y''+4y'+3y=0,\\[4pt] y(0)=2,\\[4pt] y'(0)=-1. \end{array}\right.
As perguntas são:
  1. Encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
  2. Determinar o comportamento de y(t) quando t\to\infty e justificar esse comportamento.]

Passo 2

Vamos explicar o método que vamos usar (passo-a-passo, como numa aula): para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
y''+a y'+b y=0,
uma técnica padrão é testar soluções da forma y(t)=e^{r t}. Substituindo essa tentativa na equação obtemos a chamada equação característica (um polinômio em r). As raízes dessa equação característica determinam a forma geral da solução:
  • se as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral é y(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t};
  • (outros casos existem, mas não precisamos aqui).
    Tudo isso significa: transformamos a equação diferencial numa equação algébrica para achar expoentes r e depois ajustamos constantes usando as condições iniciais.

Passo 3

Formamos a equação característica da nossa equação substituindo y=e^{r t}:
r^2+4r+3=0.
Essa é uma quadrática fácil de fatorar. Fatorando:
r^2+4r+3=(r+1)(r+3).
Logo as raízes são
r_1=-1,\qquad r_2=-3.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t)=C_1 e^{-t}+C_2 e^{-3t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar com as condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada y'(t) da solução geral (para usar as condições iniciais):
y'(t)=-C_1 e^{-t}-3C_2 e^{-3t}.
Agora aplicamos as condições iniciais em t=0.
Da condição y(0)=2 obtemos
C_1+C_2=2.
Da condição y'(0)=-1 obtemos
- C_1 - 3 C_2 = -1.

Passo 5

Resolvemos o sistema linear para C_1\) e \(C_2\): \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[4pt] - C_1 - 3C_2 = -1. \end{cases}
Somando as duas equações (para eliminar C_1\]) temos \[(C_1+C_2)+(-C_1-3C_2)=2+(-1),\] o que dá \[-2C_2=1.\] Assim \[C_2=-\tfrac{1}{2}.\] Substituindo em \(C_1+C_2=2 obtemos
C_1=2-C_2=2-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{5}{2}.]

Passo 6

Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(t)=\tfrac{5}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}.
Podemos também escrever
y(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(5e^{-t}-e^{-3t}\bigr).

Passo 7

Agora respondemos a parte (b) — comportamento quando t\to\infty. Observações importantes:
  • Para qualquer constante real a>0 temos \displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-a t}=0. Aqui temos termos e^{-t} e e^{-3t}, ambos com expoentes negativos, logo ambos tendem a zero quando t\to\infty.
  • Portanto
\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{t\to\infty}\Bigl(\tfrac{5}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}\Bigr)=0-0=0.
Mais: como e^{-3t} decai mais rápido que e^{-t}, para t grande o termo dominante é \tfrac{5}{2}e^{-t}. Em termos assintóticos,
y(t)\sim \tfrac{5}{2}e^{-t}\quad\text{quando }t\to\infty.
Outra explicação geral: as raízes da equação característica têm parte real negativa ( -1 e -3), e isso garante decaimento exponencial da solução para zero.

Resposta

y(t)=\dfrac{5}{2}e^{-t}-\dfrac{1}{2}e^{-3t}\n \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=0 (decaimento exponencial; y(t)\sim \tfrac{5}{2}e^{-t}).

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