Mostrar que 18!+1 equiv(bmod 437).

Passo 1

O enunciado quer que a gente determine o resto de 18!+1 na divisão por 437. O conteúdo empregado será fatoração de 437 e o Teorema de Wilson, que diz que para primo p vale
(p-1)!equiv -1pmodp

Passo 2

Primeiro fatoramos o módulo:
437 = 19 times 23,
onde 19 e 23 são primos.

Passo 3

Vamos ver 18!+1 módulo 19. Como 19 é primo, o Teorema de Wilson dá
18! = (19-1)! equiv -1 pmod19,
logo
18! + 1 equiv -1 + 1 equiv 0 pmod19

Passo 4

Agora módulo 23. Wilson diz
22! equiv -1 pmod23
Escrevemos
22! = 22 cdot 21 cdot 20 cdot 19 cdot 18!
Como em bmod,23
22equiv -1,;21equiv -2,;20equiv -3,;19equiv -4,
temos
22cdot21cdot20cdot19 equiv (-1)(-2)(-3)(-4) = 24 equiv 1 pmod23
Logo
1cdot 18! equiv 22! equiv -1 pmod23 Longrightarrow 18! equiv -1 pmod23,
e assim
18! + 1 equiv 0 pmod23

Passo 5

Como obtivemos
18!+1equiv 0 pmod19 e 18!+1equiv 0 pmod23,
e gcd(19,23)=1, concluímos por CRT que
18!+1equiv 0 pmod19cdot23 Longrightarrow 18!+1equiv 0 pmod437

Resposta

18!+1equiv 0pmod437

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