Prove as seguintes proposições:
Se
é perpendicular a
, e
é paralela a
, então
é perpendicular a
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que temos três retas no plano,
,
e
, tais que
-
é perpendicular a , isto é, formam um ângulo de no ponto em que se encontram. -
é paralela a .
Queremos provar que entãotambém é perpendicular a .
O conteúdo aqui é geometria plana, usando o fato de que, ao se cortar duas retas paralelas com uma transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
Passo 2
Como
é perpendicular a
,
intersecta
. Denotemos por
o ponto de interseção de
com
:
Como
e
são paralelas, a reta
também as corta em um ponto único; chamemos esse ponto de
:
Passo 3
Pelo fato de
, o ângulo formado por
e
no ponto
é reto. Em notação de medida de ângulo, escrevemos:
Passo 4
Como
e
é uma transversal que as corta, os ângulos alternos internos em
e em
são congruentes. Assim, o ângulo que
faz com
no ponto
é igual ao ângulo que
faz com
em
:
Passo 5
Como o ângulo entre
e
no ponto
é
, concluímos que
Resposta
Prova concluída: se
e
, então
.