Mostrar que o amortecimento viscoso, o fator de perda
é independente da amplitude e proporcional a frequência.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o amortecimento viscoso faz o fator de perda
ser independente da amplitude e proporcional à frequência.
Informações relevantes dadas (ou implícitas) que vamos usar:
Informações relevantes dadas (ou implícitas) que vamos usar:
- Há um sistema linear com amortecimento viscoso caracterizado por uma constante de amortecimento
. - O movimento é harmônico estacionário com deslocamento de amplitude
e frequência angular , ou seja . - A força de amortecimento viscosa é proporcional à velocidade e vale
. - Vamos usar a definição usual do fator de perda (loss factor)
para materiais/sistemas oscilantes: , onde é a energia dissipada por ciclo e é a energia máxima armazenada no sistema (no caso, na mola).
Passo 2
Escrevendo a velocidade para o movimento harmônico:
A derivada de é
A derivada de
Explicação: derivada de
é
e aparece o fator
por regra da cadeia; aqui
é constante (a amplitude).
Passo 3
Expressão da energia dissipada por ciclo para amortecimento viscoso:
A potência instantânea dissipada pelo amortecedor é . A energia dissipada em um ciclo (período
) é
A potência instantânea dissipada pelo amortecedor é
Explicação: trabalho é integral da força pelo deslocamento; aqui escrevemos como integral da potência (força vezes velocidade). Como
, fica
.
Passo 4
Substituímos
e calculamos a integral explicitamente:
Substituindo obtemos
Substituindo
Agora usamos a identidade trigonométrica
. Assim
A segunda integral é zero porque
tem período
e ao integrar por um múltiplo inteiro de seu período (aqui
) resulta zero. A primeira integral vale
. Logo
Passo 5
Concluir
:
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Como
temos
Comentário: repare que
é proporcional a
, a
e a
.
Passo 6
Energia máxima armazenada e definição do fator de perda:
A energia máxima armazenada na mola (energia potencial máxima) para amplitude é
A energia máxima armazenada na mola (energia potencial máxima) para amplitude
onde
é a rigidez da mola. Explicação: energia elástica de mola é
e no instante de amplitude toda energia potencial é máxima e vale
.
Agora aplicamos a definição do fator de perda
Substituindo
e
obtemos
Passo 7
Cancelamentos e conclusão algébrica:
No quociente acima o termo cancela, mostrando imediatamente que
não depende da amplitude
. Simplificando ficamos com
No quociente acima o termo
Logo
é diretamente proporcional à frequência angular
(porque aparece multiplicando
).
Passo 8
Forma alternativa em termos de razão de amortecimento
e frequência natural
:
Se definirmos a frequência natural por
e a razão de amortecimento
por
, podemos reescrever
como
Se definirmos a frequência natural
Isto mostra também que
cresce linearmente com
e é independente de
. É uma forma útil para comparar com parâmetros de sistemas massa-mola-amortecedor.