Mostrar que o amortecimento viscoso, o fator de perda \eta é independente da amplitude e proporcional a frequência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o amortecimento viscoso faz o fator de perda \eta ser independente da amplitude e proporcional à frequência.
Informações relevantes dadas (ou implícitas) que vamos usar:
  • Há um sistema linear com amortecimento viscoso caracterizado por uma constante de amortecimento \,c.
  • O movimento é harmônico estacionário com deslocamento de amplitude \,X e frequência angular \,\omega, ou seja \,x(t)=X\sin(\omega t).
  • A força de amortecimento viscosa é proporcional à velocidade e vale \,f_d(t)=c\dot{x}(t).
  • Vamos usar a definição usual do fator de perda (loss factor) \,\eta para materiais/sistemas oscilantes: \displaystyle \eta=\frac{\Delta W_d}{\pi U_{\max}}, onde \Delta W_d é a energia dissipada por ciclo e U_{\max} é a energia máxima armazenada no sistema (no caso, na mola).

Passo 2

Escrevendo a velocidade para o movimento harmônico:
A derivada de \,x(t)=X\sin(\omega t) é
\dot{x}(t)=\omega X\cos(\omega t).
Explicação: derivada de \sin é \cos e aparece o fator \omega por regra da cadeia; aqui \,X é constante (a amplitude).

Passo 3

Expressão da energia dissipada por ciclo para amortecimento viscoso:
A potência instantânea dissipada pelo amortecedor é p(t)=f_d(t)\dot{x}(t)=c\dot{x}^2(t). A energia dissipada em um ciclo (período T=2\pi/\omega) é
\Delta W_d=\int_0^T c\,\dot{x}^2(t)\,dt.
Explicação: trabalho é integral da força pelo deslocamento; aqui escrevemos como integral da potência (força vezes velocidade). Como f_d=c\dot{x}, fica c\dot{x}^2.

Passo 4

Substituímos \dot{x}(t) e calculamos a integral explicitamente:
Substituindo \dot{x}(t)=\omega X\cos(\omega t) obtemos
\Delta W_d=\int_0^T c(\omega X\cos(\omega t))^2\,dt = c \omega^2 X^2 \int_0^T \cos^2(\omega t)\,dt.
Agora usamos a identidade trigonométrica \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Assim
\int_0^T \cos^2(\omega t)\,dt=\int_0^T \frac{1+\cos(2\omega t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_0^T 1\,dt + \frac{1}{2}\int_0^T \cos(2\omega t)\,dt.
A segunda integral é zero porque \cos(2\omega t) tem período \pi/\omega e ao integrar por um múltiplo inteiro de seu período (aqui T=2\pi/\omega) resulta zero. A primeira integral vale T. Logo
\int_0^T \cos^2(\omega t)\,dt=\frac{1}{2}T.

Passo 5

Concluir \Delta W_d:
Substituindo \int_0^T \cos^2(\omega t)\,dt=\dfrac{T}{2} em \Delta W_d obtemos
\Delta W_d = c \omega^2 X^2 \cdot \frac{T}{2}.
Como T=\dfrac{2\pi}{\omega} temos
\Delta W_d = c \omega^2 X^2 \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{\omega} = \pi c \omega X^2.
Comentário: repare que \Delta W_d é proporcional a X^2, a c e a \omega.

Passo 6

Energia máxima armazenada e definição do fator de perda:
A energia máxima armazenada na mola (energia potencial máxima) para amplitude \,X é
U_{\max}=\frac{1}{2}kX^2,
onde \,k é a rigidez da mola. Explicação: energia elástica de mola é \tfrac{1}{2}k x^2 e no instante de amplitude toda energia potencial é máxima e vale \tfrac{1}{2}kX^2.
Agora aplicamos a definição do fator de perda
\eta=\frac{\Delta W_d}{\pi U_{\max}}.
Substituindo \Delta W_d=\pi c \omega X^2 e U_{\max}=\tfrac{1}{2}kX^2 obtemos
\eta = \frac{\pi c \omega X^2}{\pi \cdot \tfrac{1}{2}kX^2} = \frac{c \omega X^2}{\tfrac{1}{2}kX^2}.

Passo 7

Cancelamentos e conclusão algébrica:
No quociente acima o termo X^2 cancela, mostrando imediatamente que \eta não depende da amplitude X. Simplificando ficamos com
\eta = \frac{2c\omega}{k}.
Logo \eta é diretamente proporcional à frequência angular \,\omega (porque aparece multiplicando \,c).

Passo 8

Forma alternativa em termos de razão de amortecimento \zeta e frequência natural \omega_n:
Se definirmos a frequência natural \omega_n por \omega_n^2=\dfrac{k}{m} e a razão de amortecimento \zeta por \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}, podemos reescrever \eta como
\eta = \frac{2c\omega}{k} = \frac{2\left(2m\omega_n\zeta\right)\omega}{m\omega_n^2} = 2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}.
Isto mostra também que \eta cresce linearmente com \omega e é independente de X. É uma forma útil para comparar com parâmetros de sistemas massa-mola-amortecedor.

Resposta

\displaystyle \eta=\frac{2c\omega}{k} \Rightarrow independe da amplitude X (pois X^2 cancela) e é proporcional à frequência angular \omega.

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