Resolva o PVI:
. Dica: A equação é homogênea de grau zero. Faça a substituição
(
) para obter uma equação separável em
e
. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita
(ou
) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema inicial
O que é pedido:
- Resolver a equação diferencial com a condição inicial e apresentar
quando possível. - Verificar existência e unicidade da solução que passa por
. - Identificar a priori o(s) tipo(s) da equação (o enunciado já dá a dica: é homogênea de grau zero e sugere a substituição
).
Informações dadas e relevantes:
- A função do lado direito é
. Note que não está definida quando (reta ). - A condição inicial é o ponto
, que satisfaz , logo o ponto está num lugar onde é bem definida.
Passo 2
Por que usar a substituição
? Vou explicar a ideia didaticamente: quando a razão
é homogênea de grau zero significa que, se multiplicarmos
e
por um mesmo fator
, o quociente não muda. Nesses casos é clássico definir
(ou
), porque a razão no lado direito passa a depender apenas de
e não de
e
separadamente. Isso transforma a equação numa equação para
e
que frequentemente é separável.
Faço a substituição
. Então, pela regra da diferenciação do produto,
Substituo na equação original:
onde simplifiquei fator
(assumindo
; trataremos o caso
depois se necessário).
Agora isolo
:
Faço a álgebra no membro direito com calma:
Portanto
Passo 3
Agora a equação para
é separável. Vou separar as variáveis
e
com cuidado:
É importante decompor a fração do lado esquerdo para integrar de forma simples:
Integro ambos os lados:
Calcule as integrais cuidadosamente:
-
. -
: faça , , então a integral vale .
Portanto a integral esquerda é
A integral direita é
onde
é constante de integração. Assim obtemos a relação implícita
Passo 4
Volto à variável original usando
. Antes disto uso a condição inicial para determinar
. A condição
implica
. Substituo
e
na relação integrada:
logo
.
Portanto a relação é, sem constante adicional,
Substituindo
e manipulando um pouco (faço detalhadamente porque ajuda na prova e simplifica):
Então a igualdade fica
Reorganizando:
As parcelas
cancelam-se, resultando numa forma muito simples e elegante:
Essa é a relação implícita que define a solução que satisfaz
.
Passo 5
Verificação da condição inicial: substituindo
e
em
obtemos
. Portanto a condição inicial é satisfeita.
Observação sobre solução explícita: é possível escrever a solução em forma paramétrica mais explícita. Defina
. A equação implícita diz
, onde
. Assim
. Então, usando coordenadas polares,
Portanto a solução pode ser descrita parametricamente por
com
variando em um intervalo que corresponde ao ramo da solução que passa por
(para
tem
). Não existe uma fórmula elementar simples
isolando
em termos de
por funções elementares inversas; portanto a forma implícita acima ou a forma paramétrica são as mais práticas.
Passo 6
Existência e unicidade (argumento teórico e aplicação ao ponto inicial): a função do lado direito é
. Em qualquer ponto em que
a função
é contínua e sua derivada parcial em relação a
é
que também é contínua quando
. Pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), para o ponto inicial
(onde
) existe uma única solução local passando por ali. A solução que obtivemos é essa única solução local.
Domínio maximal da solução: a equação não é definida na reta
. Assim a solução única que passa por
existe enquanto a curva solução não atingir a reta
. Podemos determinar onde isso aconteceria: impondo
na relação implícita,
o que dá
Como a condição inicial tem
, o ramo relevante atinge a reta
no
positivo
. Portanto a solução está definida (pelo menos) em um intervalo aberto contendo
e limitado até que a curva atinja
; esse ponto singular determina o intervalo maximal (à direita) onde a solução é estendida continuamente.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária de 1ª ordem, homogênea de grau zero (reduzível a separável por
).
Existência e unicidade: existe uma única solução local passando por (pois
e
são contínuas numa vizinhança de
).
Solução (implícita):
Forma paramétrica: (com
correspondente a
).
Condição inicial satisfeita: é verificada.
Intervalo maximal (observação): a solução atinge a reta quando
, isto é em
; no ramo com
a interseção ocorre em
.
Existência e unicidade: existe uma única solução local passando por
Solução (implícita):
Forma paramétrica:
Condição inicial satisfeita:
Intervalo maximal (observação): a solução atinge a reta