Mostrar que em cada uma das equações seguintes somente uma das duas constantes arbitrárias é essencial.
y=x^{2}+A+B

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y = x^{2} + A + B
com duas constantes arbitrárias A e B, e pede para mostrar que, na verdade, só uma delas é essencial. Para isso, vamos usar o critério de independência das constantes: calculamos as derivadas parciais de y em relação a A e a B e verificamos se elas são linearmente independentes como funções de x.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais, temos
\frac{\partial y}{\partial A} = 1, \qquad \frac{\partial y}{\partial B} = 1.
Como essas duas derivadas são idênticas (logo, são linearmente dependentes), somente uma combinação das constantes realmente altera a curva. Definindo
C = A + B,
vemos que a família se reescreve como
y = x^{2} + C,
ou seja, apenas a constante C é essencial.

Resposta

Apenas uma constante essencial aparece, pois a família pode ser resumida em
y = x^{2} + C.

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