Mostrar que em cada uma das equações seguintes somente uma das duas constantes arbitrárias é essencial.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas
com duas constantes arbitrárias
e
, e pede para mostrar que, na verdade, só uma delas é essencial. Para isso, vamos usar o critério de independência das constantes: calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e a
e verificamos se elas são linearmente independentes como funções de
.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais, temos
Como essas duas derivadas são idênticas (logo, são linearmente dependentes), somente uma combinação das constantes realmente altera a curva. Definindo
vemos que a família se reescreve como
ou seja, apenas a constante
é essencial.
Resposta
Apenas uma constante essencial aparece, pois a família pode ser resumida em