Resolva as equações separáveis a seguir.
x e^{x^{2}} d x+\left(y^{5}-1\right) d y=0 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial separável
x e^{x^{2}}\,dx + \bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(0)=0.
O conteúdo aqui é Equação Diferencial de Variáveis Separáveis: separa-se tudo que contém x junto de dx e tudo que contém y junto de dy, integra-se e, por fim, ajusta-se a constante usando a condição inicial.

Passo 2

Separe as variáveis levando termos em x para um lado e em y para o outro:
x e^{x^{2}}\,dx = -\bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy
Logo, escrevemos a igualdade de integrais:
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int -\bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy

Passo 3

Calcule cada integral. À esquerda, use u = x^{2}, du = 2x\,dx:
\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac12 e^{x^{2}} + C_{1}.
À direita:
\int -\bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy = -\frac{y^{6}}{6} + y + C_{2}.
Igualando e reunindo constantes em C:
\frac12 e^{x^{2}} + \frac{y^{6}}{6} - y = C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=0. Em x=0, y=0:
\frac12 e^{0} + \frac{0^{6}}{6} - 0 = C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac12.

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(0)=0 é
\frac12 e^{x^{2}} + \frac{y^{6}}{6} - y = \frac12.

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