Observando-se que as séries abaixo são geométricas verifique em qual intervalo da reta elas convergem e neste caso para qual função de x cada uma converge.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{x^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{x^{n}}
identificar o intervalo de x em que ela converge e, nesse intervalo, determinar a que função de x ela converge. Trata-se de uma série geométrica com termo inicial a=1 e razão r=\tfrac{1}{x}.

Passo 2

Para uma série geométrica de termos a\,r^n convergir, é necessário e suficiente que \lvert r\rvert<1. Aqui temos
r = \frac{1}{x},
logo convergência exige
\biggl|\frac{1}{x}\biggr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|>1.
Portanto a série converge para todo x em
(-\infty,-1)\;\cup\;(1,\infty).

Passo 3

Sabendo que, quando |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r},
aqui a=1 e r=\tfrac{1}{x}. Logo, para |x|>1,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^n} =\frac{1}{1-\tfrac{1}{x}} =\frac{1}{\tfrac{x-1}{x}} =\frac{x}{x-1}.

Resposta

A série converge para x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty) e, nesse intervalo,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^n}=\frac{x}{x-1}.

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