Mostrar que a curvatura do círculo x^2+y^2=r^2 é 1 / r em cada ponto (x, y) com y neq 0.

Passo 1

Estamos estudando a curvatura de uma curva plana dada implicitamente por
x^2+y^2=r^2. Como nos pontos com yneq0 a curva pode ser escrita localmente como gráfica de
y=f(x)=pmraizr^2-x^2,
vamos usar a fórmula de curvatura de uma função y=f(x):
kappa(x)=l|f''(x)r|l(1+[f'(x)]^2r)^3/2

Passo 2

Escolhendo o ramo superior ;f(x)=raizr^2-x^2, calculamos as derivadas: \r
f'(x) =ddxl(r^2-x^2r)^1/2 =-xraizr^2-x^2,
f''(x) =ddxl(-xraizr^2-x^2r) =-r^2l(r^2-x^2r)^3/2

Passo 3

Agora montamos cada parte da fórmula de kappa: \r
1+l[f'(x)r]^2 =1+x^2r^2-x^2 =r^2r^2-x^2,
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l(1+[f'(x)]^2r)^3/2 =r^3l(r^2-x^2r)^3/2
Substituindo em kappa:
kappa(x) =l|f''(x)r|l(1+[f'(x)]^2r)^3/2 =r^2(r^2-x^2)^3/2 r^3(r^2-x^2)^3/2 =1r
Como tomamos valor absoluto em f'', o sinal de ramo não altera o resultado, e o mesmo vale para o ramo inferior.

Resposta

A curvatura do círculo x^2+y^2=r^2 em qualquer ponto com yneq0 é
kappa=1r

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