Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t)=q 0.2(-0,1) t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

Passo 1

O enunciado diz que a quantidade de água varia segundo uma lei de decaimento exponencial
!q(t)=q0,2^-0,1,t,
onde q0 é a quantidade inicial e q(t) é a quantidade após t meses. Queremos achar o tempo t para que q(t) fique igual à metade de q0.

Passo 2

Escrevemos a condição de “metade” da quantidade inicial:
q(t)=q02
Substituindo a expressão de q(t), fica
q0,2^-0,1,t = q02

Passo 3

Dividimos ambos os lados por q0 (pressupondo q0>0):
2^-0,1,t = 12
Note que tfrac12=2^-1, então
2^-0,1,t=2^-1

Passo 4

Como as duas potências têm a mesma base, igualamos os expoentes:
-0,1,t = -1 Longrightarrow t = -1-0,1 = 10

Resposta

A quantidade de água reduzir-se-á à metade em 10 meses.

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