Mostrar que a equação
não tem solução no anel (
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: mostrar que a equação
não tem solução no anel . - Dado: o anel
tem exatamente as classes . A notação significa a classe de módulo . - Meta clara: provar que para nenhum representante
vale
Passo 2
Interpretação e estratégia principal (método direto).
- A equação em
é equivalente à congruência
- Como o anel tem apenas 6 elementos, um método direto e seguro na prova é testar todos os representantes
. Isso é totalmente válido numa prova curta: é exaustivo e rápido. - Vou calcular para cada
o valor de e reduzir módulo .
Passo 3
Testando
.
portanto o lado esquerdo é
, que não é
.
Passo 4
Testando
.
portanto o lado esquerdo é
, que não é
.
Passo 5
Testando
.
reduzindo módulo
:
. Portanto o lado esquerdo é
, não
.
Passo 6
Testando
.
reduzindo módulo
:
. Portanto o lado esquerdo é
, não
.
Passo 7
Testando
.
reduzindo módulo
:
. Portanto o lado esquerdo é
, não
.
Passo 8
Testando
.
reduzindo módulo
:
. Portanto o lado esquerdo é
, não
.
Passo 9
Conclusão do método direto.
- Testamos todas as seis classes e nenhuma fornece
no lado esquerdo. Logo não existe que satisfaça a equação. - Portanto a equação não tem solução em
.
Passo 10
(Método alternativo — mais elegante, usando módulo
e módulo
.) — explicação rápida e útil para prova.
- Pelo Teorema Chinês do Resto, uma solução módulo
existe só se houver solução simultânea módulo e módulo . - Reduzindo a congruência módulo
: como , obtemos
logo
(ou seja,
é par:
).
- Reduzindo módulo
: como , a congruência fica
Testando
:
Não há solução módulo
. Portanto não pode haver solução módulo
.
- Isso confirma, de forma mais conceitual, que não existe solução.
Resposta
Não existe solução em
.