Mostrar que a equação (\bar{x})^{2}+2 \cdot \bar{x}+\overline{2}=\overline{0} não tem solução no anel ( \mathrm{Z} /(6),+,. ) .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: mostrar que a equação (\bar{x})^{2}+2\cdot\bar{x}+\overline{2}=\overline{0} não tem solução no anel \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.
  • Dado: o anel \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} tem exatamente as classes \{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5}\}. A notação \bar{x} significa a classe de x módulo 6.
  • Meta clara: provar que para nenhum representante x\in\{0,1,2,3,4,5\} vale
x^{2}+2x+2\equiv 0\pmod{6}.

Passo 2

Interpretação e estratégia principal (método direto).
  • A equação em \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} é equivalente à congruência
x^{2}+2x+2\equiv 0\pmod{6}.
  • Como o anel tem apenas 6 elementos, um método direto e seguro na prova é testar todos os representantes x=0,1,2,3,4,5. Isso é totalmente válido numa prova curta: é exaustivo e rápido.
  • Vou calcular para cada x o valor de x^{2}+2x+2 e reduzir módulo 6.

Passo 3

Testando x=\bar{0}.
0^{2}+2\cdot 0+2=2,
portanto o lado esquerdo é \overline{2}, que não é \overline{0}.

Passo 4

Testando x=\bar{1}.
1^{2}+2\cdot 1+2=1+2+2=5,
portanto o lado esquerdo é \overline{5}, que não é \overline{0}.

Passo 5

Testando x=\bar{2}.
2^{2}+2\cdot 2+2=4+4+2=10,
reduzindo módulo 6: 10\equiv 4\pmod{6}. Portanto o lado esquerdo é \overline{4}, não \overline{0}.

Passo 6

Testando x=\bar{3}.
3^{2}+2\cdot 3+2=9+6+2=17,
reduzindo módulo 6: 17\equiv 5\pmod{6}. Portanto o lado esquerdo é \overline{5}, não \overline{0}.

Passo 7

Testando x=\bar{4}.
4^{2}+2\cdot 4+2=16+8+2=26,
reduzindo módulo 6: 26\equiv 2\pmod{6}. Portanto o lado esquerdo é \overline{2}, não \overline{0}.

Passo 8

Testando x=\bar{5}.
5^{2}+2\cdot 5+2=25+10+2=37,
reduzindo módulo 6: 37\equiv 1\pmod{6}. Portanto o lado esquerdo é \overline{1}, não \overline{0}.

Passo 9

Conclusão do método direto.
  • Testamos todas as seis classes e nenhuma fornece \overline{0} no lado esquerdo. Logo não existe \bar{x}\in\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} que satisfaça a equação.
  • Portanto a equação não tem solução em \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.

Passo 10

(Método alternativo — mais elegante, usando módulo 2 e módulo 3.) — explicação rápida e útil para prova.
  • Pelo Teorema Chinês do Resto, uma solução módulo 6 existe só se houver solução simultânea módulo 2 e módulo 3.
  • Reduzindo a congruência módulo 2: como 2\equiv 0\pmod{2}, obtemos
x^{2}\equiv 0\pmod{2},
logo x\equiv 0\pmod{2} (ou seja, x é par: x\in\{0,2,4\}).
  • Reduzindo módulo 3: como 2\equiv -1\pmod{3}, a congruência fica
x^{2}-x-1\equiv 0\pmod{3}.
Testando x\equiv 0,1,2\pmod{3}:
0^{2}-0-1\equiv -1\equiv 2\pmod{3}\neq 0,
1^{2}-1-1\equiv -1\equiv 2\pmod{3}\neq 0,
2^{2}-2-1\equiv 4-2-1\equiv 1\pmod{3}\neq 0.
Não há solução módulo 3. Portanto não pode haver solução módulo 6.
  • Isso confirma, de forma mais conceitual, que não existe solução.

Resposta

Não existe solução em \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.

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