Como \overline{4}\cdot\overline{x}=4\cdot\overline{x}, vemos que a equação dada pode ser reescrita como
(\overline{x}+\overline{2})^{2}=\overline{0}.
Portanto é equivalente achar \overline{y} tal que \overline{y}^{2}=\overline{0}, onde definimos \overline{y}=\overline{x}+\overline{2}.
Passo 3
Entender a condição \overline{y}^{2}=\overline{0} em \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}.
Vou mostrar duas maneiras didáticas; você pode usar a que preferir na prova.
Método direto (tabela de quadrados mod 12):
Calcular k^{2}\bmod 12 para k=0,1,\dots,11:\begin{array}{c|cccccccccccc} k & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\hline k^{2}\bmod12 & 0&1&4&9&4&1&0&1&4&9&4&1 \end{array}
Da tabela, os únicos k com k^{2}\equiv 0\pmod{12} são k\equiv 0 e k\equiv 6 (isto é, \overline{0} e \overline{6}).
Método via fatores (CRT intuition):
Como 12=3\cdot4, ter y^{2}\equiv 0\pmod{12} é equivalente a ter simultaneamente y^{2}\equiv 0\pmod{3} e y^{2}\equiv 0\pmod{4}.
Módulo 3, os quadrados são 0,1, logo y^{2}\equiv 0\pmod{3} implica y\equiv 0\pmod{3}.
Módulo 4, os quadrados são 0,1, então y^{2}\equiv 0\pmod{4} implica y\equiv 0 ou y\equiv 2\pmod{4}.
Combinando (CRT): soluções são y\equiv 0\pmod{12} e y\equiv 6\pmod{12}.
Resultado concorda com a tabela: \overline{y}=\overline{0} ou \overline{y}=\overline{6}.
Passo 4
Voltar para \overline{x} usando \overline{y}=\overline{x}+\overline{2}.
Se \overline{y}=\overline{0}, então \overline{x}+\overline{2}=\overline{0}, logo \overline{x}=\overline{-2}=\overline{10}.
Se \overline{y}=\overline{6}, então \overline{x}+\overline{2}=\overline{6}, logo \overline{x}=\overline{6}-\overline{2}=\overline{4}.
Portanto as candidatas são \overline{4} e \overline{10}.
Passo 5
Verificação final (sempre bom confirmar na prova):
Para \overline{x}=\overline{4}:\overline{4}^{2}+4\cdot\overline{4}+\overline{4}=\overline{16}+\overline{16}+\overline{4}=\overline{36}=\overline{0},pois 36 é múltiplo de 12.
Para \overline{x}=\overline{10}:\overline{10}^{2}+4\cdot\overline{10}+\overline{4}=\overline{100}+\overline{40}+\overline{4}=\overline{144}=\overline{0},pois 144 é múltiplo de 12.
Ambas satisfazem a equação, e não há outras soluções (vimos todos os possíveis \overline{y} com y^{2}\equiv0).