Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
16- \frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
\frac{dy}{dx} = -\frac{4x + 3y}{2x + y}
é homogênea e em seguida achar sua solução geral. O conteúdo usado será o de equações diferenciais de coeficientes homogêneos do primeiro grau, que se resolvem pela substituição
y = u x.

Passo 2

Para verificar homogeneidade, note que tanto o numerador 4x+3y quanto o denominador 2x+y são polinômios homogêneos de grau 1 em x e y. Logo a razão entre eles depende apenas de y/x, caracterizando a equação como homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo a substituição
y = u x
temos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação original:
u + x\frac{du}{dx} = -\frac{4x + 3(ux)}{2x + ux} = -\frac{4 + 3u}{2 + u}.
Isolando x\,du/dx:
x\frac{du}{dx} = -\frac{4 + 3u}{2 + u} - u = -\frac{4 + 3u + u(2+u)}{2+u} = -\frac{u^2 +5u+4}{u+2} = -\frac{(u+1)(u+4)}{u+2}.

Passo 4

Separamos variáveis:
-\frac{u+2}{(u+1)(u+4)}\,du = \frac{dx}{x}.
Fazendo decomposição em frações parciais:
-\frac{u+2}{(u+1)(u+4)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+4},
com A=-\tfrac13 e B=-\tfrac23. Assim
\int\Bigl(-\tfrac13\frac{1}{u+1}-\tfrac23\frac{1}{u+4}\Bigr)du = \int\frac{dx}{x}
leva a
-\tfrac13\ln|u+1|-\tfrac23\ln|u+4| = \ln|x| + C.
Reescrevendo em forma exponencial e absorvendo constantes, obtemos
(u+1)^{-1/3}(u+4)^{-2/3}=K\,x \quad\Longrightarrow\quad (u+1)(u+4)^2 = C\,x^{-3}.

Passo 5

Voltando a u = y/x,
\Bigl(\frac{y}{x}+1\Bigr)\Bigl(\frac{y}{x}+4\Bigr)^2 = C\,x^{-3}
multiplicando ambos os lados por x^3 dá a forma implícita simples
(y+x)\,(y+4x)^2 = C.

Resposta

(y + x)\,(y + 4x)^{2} = C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados