Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
16- \frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}.
16- \frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
é homogênea e em seguida achar sua solução geral. O conteúdo usado será o de equações diferenciais de coeficientes homogêneos do primeiro grau, que se resolvem pela substituição
Passo 2
Para verificar homogeneidade, note que tanto o numerador
quanto o denominador
são polinômios homogêneos de grau 1 em
e
. Logo a razão entre eles depende apenas de
, caracterizando a equação como homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazendo a substituição
temos
Substituindo na equação original:
Isolando
:
Passo 4
Separamos variáveis:
Fazendo decomposição em frações parciais:
com
e
. Assim
leva a
Reescrevendo em forma exponencial e absorvendo constantes, obtemos
Passo 5
Voltando a
,
multiplicando ambos os lados por
dá a forma implícita simples
Resposta
onde
é constante de integração.