Mostrar que:
Se f é uma função polinomial, então \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) para todo real a.
Se f é uma função polinomial, pode ser escrita como
f(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots .+a_{n} x^{n} \operatorname{com} a_{1}, a_{2}, \ldots ., a_{n} \in R
Assim,
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow a} f(x) & =\lim _{x \rightarrow a}\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots .+a_{n} x^{n}\right) \\\ & \left\{\begin{array}{l} =\lim _{x \rightarrow a} a_{0}+\lim _{x \rightarrow a} a_{1} x+\lim _{x \rightarrow a} a_{2} x^{2}+\ldots+\lim _{x \rightarrow a} a_{n} x^{n} \\\ =a_{0}+a_{1} \lim _{x \rightarrow a} x+a_{2} \lim _{x \rightarrow a} x^{2}+\ldots+a_{n} \lim _{x \rightarrow a} x^{n} \\\ =a_{0}+a_{1} \cdot a+a_{2} \cdot a^{2}+\ldots+a_{n} a^{n} \\\ =f(a) \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é um polinômio, então
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
para todo a\in\mathbb{R}.
Conteúdo: vamos usar as propriedades de limites (linearidade e produto com constante) e o fato já conhecido de que \lim_{x\to a}x^k = a^k para inteiro k\ge0.

Passo 2

Como f é polinomial, escrevemos
f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n},
onde a_{0},a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplicando o limite em ambos os lados e usando a propriedade de soma de limites, temos
\lim_{x\to a}f(x) =\lim_{x\to a}\bigl(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\bigr) =\lim_{x\to a}a_{0}+\lim_{x\to a}a_{1}x+\cdots+\lim_{x\to a}a_{n}x^{n}.

Passo 4

Em cada termo, usamos que o limite de uma constante é ela mesma e que \lim_{x\to a}x^{k}=a^{k}. Logo,
\lim_{x\to a}a_{i}x^{i} =a_{i}\,\lim_{x\to a}x^{i} =a_{i}\,a^{i}.
Fazendo isso para todo i=0,1,\dots,n, obtemos
\lim_{x\to a}f(x) =a_{0}+a_{1}a+a_{2}a^{2}+\cdots+a_{n}a^{n}.

Passo 5

O lado direito é exatamente f(a), pois
f(a)=a_{0}+a_{1}a+a_{2}a^{2}+\cdots+a_{n}a^{n}.
Portanto, concluímos que
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Resposta

\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

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