Mostrar que
é uma correspondência biunívoca.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é bijetora.
O que vamos usar é o teorema da fatoração única em : todo número natural
pode ser escrito de modo único como
O que vamos usar é o teorema da fatoração única em
onde
é o expoente de
e
é um número ímpar.
Passo 2
Mostramos que
é injetiva. Suponha
Então
Pela fatoração única, a potência de
de um lado deve coincidir com a do outro, ou seja
, logo
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
isto é,
. Logo
e
é injetiva.
Passo 3
Mostramos que
é sobrejetiva. Seja
qualquer. Pela fatoração única, escreve-se
com
e
ímpar. Então coloque
isto é,
Dessa forma
mostrando que todo
tem pelo menos uma origem em
.
Resposta
A função
é bijetora, ou seja, estabelece uma correspondência biunívoca entre
e
.