Mostrar que m d c(a+b, 4 a+9 b)=m d c(a, b-a), forall a, b in Z^*.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para quaisquer inteiros não-nulos a,b,
gcd(a+b,;4a+9b);=;gcdl(a,;b-ar)
Vamos testar se isso de fato vale para todos os a,b.

Passo 2

Basta encontrar um contraexemplo: escolha a=3 e b=2. Então
a+b=3+2=5, 4a+9b=4cdot3+9cdot2=12+18=30,
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gcd(a+b,;4a+9b) =gcd(5,30)=5
Por outro lado,
b-a=2-3=-1 Longrightarrow gcdl(a,;b-ar) =gcd(3,,-1)=1

Passo 3

Como em a=3,b=2 obtemos
gcd(a+b,4a+9b)=5 neq 1=gcd(a,b-a),
a igualdade proposta falha.

Resposta

A igualdade não é verdadeira em geral. Por exemplo, para a=3 e b=2 temos
gcd(5,30)=5neq1=gcd(3,-1),
logo a afirmação é falsa.

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