Mostrar que a função
, onde
e
são constantes, é uma solução para a equação
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
e
são constantes, e pede para mostrar que essa função satisfaz a equação diferencial
no intervalo
.
Informações relevantes recebidas: são constantes arbitrárias; a função está definida para todo
; precisamos verificar a igualdade da equação diferencial substituindo
,
e
.
Informações relevantes recebidas:
Passo 2
Vou usar duas regras básicas de derivação (explico como se fosse meu colega estudando comigo):
- Regra do exponencial: para qualquer constante
,
No nosso caso, para
temos
e para
temos
.
2) Regra do produto: para funções e
,
2) Regra do produto: para funções
Vou aplicar essas regras termo a termo em
. Não pule etapas: vou mostrar cada derivada.
Passo 3
Calcular
. Derivo cada termo de
:
- Para
: constante vezes exponencial, logo
- Para
:
- Para
uso a regra do produto com (então ) e (então ):
Somando os três resultados:
Passo 4
Calcular
. Derivo termo a termo a expressão de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
novamente uso produto: aqui com e com . Então
Somando:
Passo 5
Agora monto a combinação da equação diferencial:
. Vou substituir as expressões encontradas para
e agrupar termos por tipo exponencial.
Substituição:
Agora agrupo os termos em
que vêm de
, os termos em
que vêm de
, e os termos provenientes da parte particular
.
- Coeficientes multiplicando
:
Portanto os termos com
cancelam.
- Coeficientes multiplicando
:
Também cancelam.
- Termos provenientes de
, somando os três contributos:
Fatorando
e somando coeficientes:
Combino os termos em
e constantes:
Logo essa soma dá exatamente
.
Somando tudo, como os termos com
e
anulam, fica
Passo 6
Concluímos que, para qualquer constantes
e para todo
, a função dada satisfaz a equação diferencial dada. Em outras palavras, a parte com
é solução da equação homogênea associada (por isso cancela) e
é uma particular que produz o lado direito
.