Mostrar que a função y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x}+x e^{-x}, onde C_{1} e C_{2} são constantes, é uma solução para a equação
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \cdot \frac{d y}{d x}+2 y=e^{-x}
no intervalo ]-\infty,+\infty[.

Passo 1

O enunciado dá a função
y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}+x e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes, e pede para mostrar que essa função satisfaz a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}
no intervalo ]-\infty,+\infty[.
Informações relevantes recebidas: C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias; a função está definida para todo x\in\mathbb{R}; precisamos verificar a igualdade da equação diferencial substituindo y, y' e y''.

Passo 2

Vou usar duas regras básicas de derivação (explico como se fosse meu colega estudando comigo):
  1. Regra do exponencial: para qualquer constante a,
\frac{d}{dx}e^{a x}=a e^{a x}.
No nosso caso, para e^{-x} temos \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x} e para e^{-2x} temos \frac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x}.
2) Regra do produto: para funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+u v'.
Vou aplicar essas regras termo a termo em y. Não pule etapas: vou mostrar cada derivada.

Passo 3

Calcular y'. Derivo cada termo de y:
  • Para C_{1}e^{-x}: constante vezes exponencial, logo
\frac{d}{dx}\bigl(C_{1}e^{-x}\bigr)=C_{1}\frac{d}{dx}e^{-x}=C_{1}(-e^{-x})=-C_{1}e^{-x}.
  • Para C_{2}e^{-2x}:
\frac{d}{dx}\bigl(C_{2}e^{-2x}\bigr)=C_{2}(-2e^{-2x})=-2C_{2}e^{-2x}.
  • Para x e^{-x} uso a regra do produto com u(x)=x (então u'(x)=1) e v(x)=e^{-x} (então v'(x)=-e^{-x}):
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}.
Somando os três resultados:
\frac{dy}{dx}= -C_{1}e^{-x}-2C_{2}e^{-2x}+(1-x)e^{-x}.

Passo 4

Calcular y''. Derivo termo a termo a expressão de y':
  • Para -C_{1}e^{-x}:
\frac{d}{dx}\bigl(-C_{1}e^{-x}\bigr)=-C_{1}(-e^{-x})=C_{1}e^{-x}.
  • Para -2C_{2}e^{-2x}:
\frac{d}{dx}\bigl(-2C_{2}e^{-2x}\bigr)=-2C_{2}(-2e^{-2x})=4C_{2}e^{-2x}.
  • Para (1-x)e^{-x} novamente uso produto: aqui u(x)=1-x com u'(x)=-1 e v(x)=e^{-x} com v'(x)=-e^{-x}. Então
\frac{d}{dx}\bigl((1-x)e^{-x}\bigr)=(-1)e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=(-1-(1-x))e^{-x}=(x-2)e^{-x}.
Somando:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=C_{1}e^{-x}+4C_{2}e^{-2x}+(x-2)e^{-x}.

Passo 5

Agora monto a combinação da equação diferencial: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\dfrac{dy}{dx}+2y. Vou substituir as expressões encontradas para y'',y',y e agrupar termos por tipo exponencial.
Substituição:
\begin{aligned} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\frac{dy}{dx}+2y &=\bigl(C_{1}e^{-x}+4C_{2}e^{-2x}+(x-2)e^{-x}\bigr) \\\ &\quad +3\bigl(-C_{1}e^{-x}-2C_{2}e^{-2x}+(1-x)e^{-x}\bigr) \\\ &\quad +2\bigl(C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}+x e^{-x}\bigr). \end{aligned}
Agora agrupo os termos em e^{-x} que vêm de C_{1}, os termos em e^{-2x} que vêm de C_{2}, e os termos provenientes da parte particular x e^{-x}.
  1. Coeficientes multiplicando C_{1}e^{-x}:
C_{1}\\ ( \;1\; ) \quad+\quad 3(-C_{1}) \quad+\quad 2(C_{1}) \;=\; C_{1}(1-3+2)=C_{1}\cdot 0=0.
Portanto os termos com C_{1} cancelam.
  1. Coeficientes multiplicando C_{2}e^{-2x}:
4C_{2} \quad+\quad 3(-2C_{2}) \quad+\quad 2C_{2} \;=\; C_{2}(4-6+2)=C_{2}\cdot 0=0.
Também cancelam.
  1. Termos provenientes de x e^{-x}, somando os três contributos:
(x-2)e^{-x} \quad+\quad 3(1-x)e^{-x} \quad+\quad 2x e^{-x}.
Fatorando e^{-x} e somando coeficientes:
\bigl(x-2 + 3(1-x) + 2x\bigr)e^{-x} = \bigl(x-2 +3-3x +2x\bigr)e^{-x}.
Combino os termos em x e constantes:
(x-3x+2x) + (-2+3) = 0x + 1 = 1.
Logo essa soma dá exatamente 1\cdot e^{-x}=e^{-x}.
Somando tudo, como os termos com C_{1} e C_{2} anulam, fica
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}.

Passo 6

Concluímos que, para qualquer constantes C_{1},C_{2} e para todo x\in\mathbb{R}, a função dada satisfaz a equação diferencial dada. Em outras palavras, a parte com C_{1},C_{2} é solução da equação homogênea associada (por isso cancela) e x e^{-x} é uma particular que produz o lado direito e^{-x}.

Resposta

\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\dfrac{dy}{dx}+2y=e^{-x}

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