Questão 19. Resolva o seguinte (P.V.I.)
\left\{\begin{array}{r} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=5 \sin (x)+5 \cos (x) \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo e pede a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais:
\left\{\begin{array}{r} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=5 \sin (x)+5 \cos (x) \\\ y(0)=1, \; y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
\text{Equação diferencial: }y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=5\sin x+5\cos x.çã
\text{Condições iniciais: }y(0)=1,\quad y'(0)=2.çõ
O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaça tudo isso.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (a parte “sem o lado direito”) para obter a solução geral da homogênea. A equação homogênea é
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0.
Usamos a técnica padrão: supor y=e^{rx} e obter a equação característica. Substituindo y=e^{rx} obtemos
r^{2}+2r+2=0.
Resolvendo essa quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=-1\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas r=-1\pm i, a forma da solução homogênea é (resultado padrão para raízes a\pm i b):
y_h(x)=e^{ax}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big),
onde a=-1 e b=1. Portanto
y_h(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big).
Explicando rápido: C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que vamos determinar com as condições iniciais depois.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x)\) da equação completa. O lado direito é combinação de \(\sin x\) e \(\cos x\). Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos um ansatz da forma \[y_p(x)=A\cos x + B\sin x,
com A,B constantes desconhecidas. Antes de prosseguir, verificamos ressonância: se e^{\alpha x}\cos(\beta x) com \alpha+i\beta for raiz da característica haveria multiplicação por x. Aqui \alpha=0,\beta=1 e as raízes da característica são -1\pm i, que não coincidem com \pm i. Logo não há ressonância e o ansatz acima é adequado.
Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(x)=-A\sin x + B\cos x,
y_p''(x)=-A\cos x - B\sin x.
Substituímos na equação y''+2y'+2y:
y_p''+2y_p'+2y_p = (-A\cos x - B\sin x) + 2(-A\sin x + B\cos x) + 2(A\cos x + B\sin x).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
coeficiente de \cos x: -A + 2B + 2A = A + 2B.
coeficiente de \sin x: -B - 2A + 2B = -2A + B.
Portanto
y_p''+2y_p'+2y_p = (A+2B)\cos x + (-2A+B)\sin x.
Queremos isso igual a 5\cos x + 5\sin x. Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + 2B = 5,\\[4pt] -2A + B = 5. \end{cases}
Resolvendo esse sistema: da primeira equação A=5-2B\]. Substituindo na segunda: \[-2(5-2B)+B=5 \Rightarrow -10+4B+B=5 \Rightarrow 5B=15 \Rightarrow B=3.\] Então \(A=5-2\cdot 3=5-6=-1. Logo
y_p(x) = -\cos x + 3\sin x.]

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) - \cos x + 3\sin x.
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 5

Aplicamos y(0)=1. Primeiro avaliamos y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big) - \cos 0 + 3\sin 0 = C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 -1 +0 = C_{1}-1.
Da condição y(0)=1 segue
C_{1}-1=1 \Rightarrow C_{1}=2.
Agora precisamos de y'(x) para usar y'(0)=2. Calculamos y'(x). Para a parte e^{-x}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) usamos a regra do produto; é útil observar que
\frac{d}{dx}\big[e^{-x}u(x)\big]=e^{-x}\big(u'(x)-u(x)\big).
Tomando u(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x temos u'(x)=-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x. Então a derivada da parte homogênea é
e^{-x}\big(( -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x) - (C_{1}\cos x + C_{2}\sin x)\big) = e^{-x}\big((C_{2}-C_{1})\cos x - (C_{1}+C_{2})\sin x\big).
A derivada da parte particular y_p(x)=-\cos x + 3\sin x é
y_p'(x)=\sin x + 3\cos x.
Somando:
y'(x)=e^{-x}\big((C_{2}-C_{1})\cos x - (C_{1}+C_{2})\sin x\big) + \sin x + 3\cos x.
Agora avaliamos em x=0:
y'(0)= (C_{2}-C_{1})\cdot 1 + 0 + 0 + 3\cdot 1 = C_{2}-C_{1}+3.
Pela condição y'(0)=2 temos
C_{2}-C_{1}+3=2 \Rightarrow C_{2}-C_{1}=-1.
Como já encontramos C_{1}=2, então C_{2}-2=-1 e portanto C_{2}=1.

Passo 6

Substituindo C_{1}=2 e C_{2}=1 na solução geral obtemos a solução particular do P.V.I.:
y(x)=e^{-x}\big(2\cos x + \sin x\big) - \cos x + 3\sin x.
Se quiser ver em forma combinada:
y(x)=\cos x\big(2e^{-x}-1\big) + \sin x\big(e^{-x}+3\big).

Resposta

y(x)=e^{-x}\big(2\cos x + \sin x\big) - \cos x + 3\sin x

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