Questão 19. Resolva o seguinte (P.V.I.)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo e pede a função
que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais:
Informações relevantes dadas:
O objetivo é encontrar a solução
que satisfaça tudo isso.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (a parte “sem o lado direito”) para obter a solução geral da homogênea. A equação homogênea é
Usamos a técnica padrão: supor
e obter a equação característica. Substituindo
obtemos
Resolvendo essa quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma da solução homogênea é (resultado padrão para raízes
):
onde
e
. Portanto
Explicando rápido:
e
são constantes arbitrárias que vamos determinar com as condições iniciais depois.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
com
constantes desconhecidas. Antes de prosseguir, verificamos ressonância: se
com
for raiz da característica haveria multiplicação por
. Aqui
e as raízes da característica são
, que não coincidem com
. Logo não há ressonância e o ansatz acima é adequado.
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação
:
Agrupando termos em
e
:
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
Portanto
coeficiente de
coeficiente de
Portanto
Queremos isso igual a
. Igualando coeficientes:
Resolvendo esse sistema: da primeira equação
. Logo
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 5
Aplicamos
. Primeiro avaliamos
:
Da condição
segue
Agora precisamos de
para usar
. Calculamos
. Para a parte
usamos a regra do produto; é útil observar que
Tomando
temos
. Então a derivada da parte homogênea é
A derivada da parte particular
é
Somando:
Agora avaliamos em
:
Pela condição
temos
Como já encontramos
, então
e portanto
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular do P.V.I.:
Se quiser ver em forma combinada: